再把這個例子改一改，設末位獎券號為0時中二等獎，末兩位獎券號為00時中一等獎，且不同獎項可兼中兼得。假設仍然是購買兩張獎券，前麵已計算過，無論采用哪一種購買方式，中二等獎的平均次數是一樣的。類似的可以計算出，購買連號獎券時，中一等獎的概率為2％，平均中獎次數為002次。購買不連號獎券時，兩張都中獎的概率是1%×1％＝001％，隻有一張中獎的概率是1％×99%＋99%×1％＝198%，因此總的中一等獎的概率為199%＜2％，而平均中獎次數為2×001%＋1×198％＝002次，兩種購買方式的平均中獎次數仍然是一樣的。
總而言之，無論獎項分幾個等級，無論每個獎項的中獎概率是多少，也無論購買多少張獎券，購買連號的或不連號的，總的中獎概率可能不同，但平均中獎次數總是一樣的。
商店一次進貨多少最合理
商店在向顧客售出商品的同時，要從廠家或批發部門批進商品，或稱進貨。正常情況下，商店每售出一件商品，除了收回各種成本以外，還能夠賺取一定的利潤。進貨一般是每隔一段時間（例如一個月）進行一次。如果一次進的貨太少，就會造成熱銷的商品缺貨而錯過賺取利潤的機會；相反地，如果一次進的貨太多，商品沒有及時售出，就會造成積壓或滯銷而帶來損失。因此，商店一次進貨量的多少與該商品一段時期內銷量的多少有密切的聯係。但銷量的多少並不由商店老板決定，它是一個不確定的量，隻能做一定的估計。那麼商店到底應該進多少貨才能保證獲取的（平均）利潤最多呢？
我們通過下麵一個具體的例子來回答這個問題。
某服裝店準備購進一批時裝銷售。在銷售旺季中，每售出一件時裝能賺取利潤50元；旺季結束後，為了盡量防止商品積壓影響資金周轉，不得不降價出售，再加上商品庫存保管等費用，合計每件將損失10元。進貨前商店作了一次市場調查，估計總共能售出40～50件時裝，具體售出時裝件數及其可能性如下：
共售出件數小於404041424344可能性(%)05781012共售出件數454647484950可能性(%)151210975現問為使商店獲取最大利益，應該進多少貨？
設進貨量為x件，顯然x在40～50件之間，若x＜40，則必然會造成缺貨；同樣，若x＞50，則必然會造成積壓，兩者都是不可取的。下麵我們分別對x為40～50件計算商店所能獲取的平均利潤。X＝40件時，總能全部售出，沒有積壓，因此總利潤是：
50×40＝2000（元）。
X＝41件時，有5％的可能隻售出40件而積壓1件，而有1－5％＝95％的可能會全部售出而沒有積壓，因此平均總利潤為：
（50×40－10×1）×5％＋（50×41）×95％＝2047（元）。
X＝42件時，有5％的可能隻售出40件而積壓2件，有7％的可能隻售出41件而積壓1件，其餘情況下會全部售出而沒有積壓，可能性是1－5％－7％＝88％，因此平均總利潤為：
（50×40－10×2）×5％＋（50×41－10×1）×7％＋（50×42）×88％＝20898（元）。
下麵我們將進貨量x為40～50件時的平均總利潤計算結果列出如下：
進貨量(件)404142434445利潤(元)2000204720898212782159821846進貨量(件)4647484950利潤(元)220042209221162208822018從計算結果可以看出，當進貨量為48件時，商店所能獲取的平均總利潤最大，為22116元。
誰的花長得最快
小君和小浩每人種了一盆花，他們澆水的杯子相同，盛的水也一樣。小君每星期天一次把一杯清水全部澆在花盆中，小浩把一杯清水分成七天來澆。請你判斷一下下圖中的花分別是誰的？
［答案：左邊的是小浩種的一盆花，右邊的是小君種的一盆花。］
如何用數學方法挑選商品
我們經常會遇到這樣的情況：購買商品時，同樣的商品有很多，怎樣挑選出最滿意的一個來呢？當然，營業員不可能把所有的商品都拿出來任你挑選，我們也就沒有多大的挑選餘地，但如果擺在你麵前的商品有很多，你該如何挑選呢？又譬如說生產廠家要從自己的產品中，挑選一個最好的去參加評比，怎樣從眾多的產品中挑選呢？
所謂滿意的標準有很多，對於顧客來說，商品的好壞大致有三個標準：一是商品的質量，二是商品的外觀，三是商品的價格。而這三者往往不容易完全兼顧，顧客的心理也有差異，有人對外觀的要求較高，而有人則更看重價格。這裏，我們假定顧客心中已經有一定的標準，能夠從兩件商品中區分出好壞。
現在假定有n件商品供你挑選。一般的方法是采取兩兩比較，先對其中兩個進行比較，再換兩個進行比較，如此一直下去，直到最後選出最優的一個來。作兩兩比較，人們總是希望比較的次數越少越好，那麼從n件商品中選出一個最優的至少要比較多少次呢？為了敘述方便，我們把這個次數記為f（n）。
如果n＝2，即從兩件商品中挑選一個最優的，隻須進行一次比較就可以了，因此，f（2）＝1。
如果n＝3，可以先對其中兩件商品作比較，選出的優勝者再與另一件相比，選出最優的，因而隻須進行兩次比較，即f（3）＝2。
下麵我們來看一般情形，n件商品，我們先任取兩件作比較，選出一個再與下一個相比，如此繼續，到最後一件，那麼一共進行的比較次數是n－1次。這一方案所用的比較次數一定不比f（n）小，有f（n）≤n－1。
現在我們假設已經有一個方案，隻需進行f（n）次比較。那麼，第一次比較總是從其中的兩個開始的，淘汰掉一個之後，優勝者與其它n－2件的最少比較次數是f（n－1），而原方案去掉第一次比較剩留的比較方案恰好是n－1件商品選優的一種方案。於是有f（n）－1≥f（n－1），即
f（n）≥f（n－1）＋1≥f（n－2）＋1＋1
≥f（n－3）＋3≥……≥f（n－（n－2））＋n－2
＝f（2）＋n－2＝1＋n－2＝n－1。
前麵已知f（n）≤n－1，現又有f（n）≥n－1，於是，f（n）＝n－1。也就是說，從n件商品中挑選出一個最優的，至少要作n－1次比較。前麵我們已經給出了一個作n－1次比較的方案，當還有其他的最佳方案。比如說我們可以把商品先分成若幹個組，在組內先進行比較，然後每組的優勝者再拿到一起作比較。
下麵我們來看如何從n件商品中挑選兩個最優。我們隻要求能找出兩個最滿意的商品，而不需要在兩個商品中再區分最優。這時最少的比較次數是多少呢？我們先從n件商品中選出一個最優來，最少的比較次數是n－1，去掉這個最優，再從剩下的n－1件商品中選出一個最優，最少進行n－2次比較，這時我們保證了這兩件商品確實比其他n－2件商品更優，由於不需要區分冠亞軍，所以在這2n－3次比較中，我們還應去掉一次冠亞軍之間進行的比較，於是我們最少的比較次數是2n－4。那麼這些比較又如何進行呢？這一問題我們留給讀者自己去思考。
能被2、3、5、9或11整除的數
老師在黑板上出了幾個算術題?
1312212能不能被2整除？
2215412能不能被3或9整除？
35712能不能被5整除？
4412632能不能被11整除？
你不用筆算，能把結果正確地說出來嗎？
也許你認為被除數的位數多了，心算就不可能。
其實要算出一個數能不能被某些數整除，不在乎被除數的位數，也不需要有心算的訓練，主要的關鍵在於我們是不是已經掌握了整除的規律。
1因為偶數能被2整除，所以，個位數是0或偶數的都能被2整除。
312212是偶數，所以能被2整除。
2由於10、102、103……除以3或9的餘數都是1，因此，10c，102b，103a……除以3或9的餘數分別是c，b，a……。比如說，一個四位數，它可以寫成103a＋102b＋10c＋d。它能不能被3或9整除，就看各個位數相加的和（a＋b＋c＋d）能不能被3或9整除。
215412各位數字的和是2＋1＋5＋4＋1＋2＝15，再把15的兩位數字相加為1＋5=6。6能被3整除，而不能被9整除，因此，215412這個數能被3整除，但不能被9整除。
如果一個數目的各位數字的和能被9整除，這個數目就能被9整除。能被9整除的數，一定能被3整除。但是，反過來說並不一定成立，以上舉的215412就是一個例子。
310、102、103……都能夠被5整除，一個數能不能被5整除，在於這個數的個位數。因此，個位數是0或5的數，就能被5整除。
410、102、103……除以11的餘數，分別是－1、1、－1、1、－1……因而一個數的個位、百位、萬位……數的和，如果與十位、千位、十萬位……數的和相同，或它們的差能被11整除，就可以斷定這個數能被11整除。
由於412632這個數的個位、百位、萬位數字的和是2＋6＋1＝9，而十位、千位、十萬位數字的和是3＋2＋4＝9。這兩個和是相同的，因此，412632這個數能被11整除。
至於其他一些除數能不能整除被除數，並不像2、3、9、5、11那樣容易看出來。
我們看看除數是4或7的情況怎麼樣？
除數是4的時候，由於102、103……都能被4整除，因此，一個被除數能不能被4整除，要看這個被除數的個位數與十位數，能不能被4整除。
例如7324能被4整除，而7322隻能被2整除，而不能被4整除。
除數是7的時候，由於10、102、103……除以7的餘數分別是3、2、－1、－3、－2、1、3、2、－1……因此，一個被除數，比如說一個五位數104a＋103b＋102c＋10d＋e能不能被7整除，要看（e－b）＋3（d－a）＋2c能否被7整除。
35532這個數能不能被7整除呢？因為（2－5)十3×（3－3）＋2×5＝－3＋10＝7，所以，這個數能被7整除。
如果除數分解成幾個互素的因數，比如12＝3×4，14＝2×7，15＝3×5，18＝2×9，21＝3×7，那麼，它們能不能整除一個被除數呢？就要看這個被除數能不能被這些因數同時整除。
35532是偶數，它又能被7整除，因此，它能被2×7＝14整除。
73512是偶數，又能被9整除，所以，73512這個數能被2×9＝18整除，其餘可以類推。
任何一件事，隻要分析了它的原因，總結出規律來，就能很好地解答它。
加法速算法
在一個數學俱樂部的遊藝牌上寫著這樣一道題：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝？你能很快地答出來嗎？
有的人老老實實地加起來，當然也得到了結果，但是這不符合要求啊。那麼，怎樣來速算呢？
先看看下麵的例子：
1＋2＋1＝4＝22
1＋2＋3＋2＋1＝9＝32
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25＝52
1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36＝62
……
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝81＝92
……
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝169＝132
……
不用多寫了，你就可以發現，凡是從1加到某一個數(即n)，再返過來加到1，結果都等於到頭那個數(n)的平方。如果你記住了這個有趣的關係，那麼，對於任意的這樣相加法，都可以很快答上來了。我們不是談到過大數學家高斯的故事嗎?老師出了從1加到100等於多少的題目，小高斯很快答出來是5050。如果把這個題目再變得難一點，問從1加到100，再加回到1，一共是多少?你也很容易知道這一定是1002＝10000了。