為什麼2n個小球能移為一堆
有2n個小球，分成許多堆，隨意選定其中的甲、乙兩堆，若甲堆的球數不超過乙堆的球數，便從乙堆中取出等於甲數目的小球放入甲堆，這樣算做一次“移動”。那麼經過有限次的移動，能否把這2n個小球並為一堆呢?
解決本題需要掌握初等數學中的一個重要解題方法——數學歸納法。因為小球的數目，雖有規律如可能是2，4，8，16……等，但畢竟不能以其中的任一個確定的數為解題出發點，因而解題的方法相應的也要抽象一些。
數學歸納法的證題思路是：要證明一個結論首先驗證在所有的n可以取的值中選一個最小的值(如n＝1或n＝2等)，結論是正確的。第二步是，假設n取任一個自然數K時結論正確，再證明n取K＋1時結論也正確。兩步結合起來，一個是基礎，一個是傳遞，我們就可以從n＝1時結論正確推到n＝2結論正確，再推到n＝3時結論正確……即對於任意自然數n，結論都正確。
回到我們的問題，結論是肯定的，當n＝1時有2個小球，最多分兩堆。每堆一個小球，那麼一次“移動”就並為了一堆。假定有2K個小球分成若幹堆，經過有限次“移動”能並為一堆。那麼把2K＋1個小球分成若幹堆時，情形又如何呢?因為2K＋1是偶數，所以小球個數是奇數的堆有偶數個，把他們兩兩匹配，每兩堆間“移動”一次，這樣各堆小球的數目就都是偶數了，設想每堆中都把兩個小球貼在一起，移動也好不移動也好都當一個小球看待，那麼總數不就是2n個了嗎!總起來說就是，隻要2K個小球可並為一堆，那麼2K＋1個小球就能並為一堆。這樣就從21個結論成立，推到22個結論成立，再推到23個結論成立，當然對任意自然數n，結論都是成立的。
“對稱”意識
幾何學中的對稱指兩點關於它們連線的中垂線成軸對稱，關於它們的中點成中心對稱。
具有這種“對稱”意識，在某些遊戲中，大有用武之地，先舉一例遊戲。
兩人在方桌上擺撲克牌，擺法是輪流擺放，一次一張，但每兩張不許重疊，誰最後無位置可擺，誰就輸了。若你先擺，你能贏嗎?
仔細分析而知，你先擺一個位置後無論對手怎樣擺放，你都必有空位擺牌，這就形成了對應，再聯想“對稱”就會使你獲勝。
當然，你擺放的第一個位置應該是很關鍵的，應是擺放位置中的唯一特殊性位置。
綜上論述你會立刻確定穩贏的擺法，先把一張牌放到方桌中心，這樣，你對手每擺一張牌則你一定可找到這張牌的對稱位置擺放，直到對手再無法找到空位為止。
再舉一例：
兩人做翻牌遊戲，先把圓牌的兩麵分別畫上“＋”“-”兩種符號，然後擺成一排，且“＋”號在上麵。翻牌方法是每人一次，一次翻一張或兩張，翻過一次的牌就不許再翻了，這樣，誰最後無牌可翻誰就輸了。如果讓你先翻，你會贏嗎?
有前一個遊戲的經驗，解開這個問題並不難。看來需要找到“對稱中心”，這就首先需要數一下這些圓牌的個數，若為奇數，你就可先翻中間一個；若為偶數，你就可先翻中間兩個，然後無論對手一次翻幾個，你就翻對稱位置的幾個，直到獲勝。
最後舉一例，看你是否有了“對稱意識”：
●………兩人把一個棋子，從左到右移動，使它經過一排方格中的每一個格，這排方格的總數是1990，誰把棋子移動到最後一格，誰就獲勝。兩人輪流，一次移動1至3格，如果你先走。你會贏嗎?若再模仿前兩個遊戲，就會因找不到對稱中心而困惑。但如果你有“對稱意識”，就會立刻想到在四個格子裏，對手先走，你必能獲勝。這樣，你走第一次時隻要使剩餘的格數是4的倍數就行了，對手走1格，你走3格；對手走2格，你走2格；對手走3格，你走1格，一直到你把棋子移到最後一格裏。
為此，你的第一步隻要把棋子移到左邊的第二個格子裏，(1990÷4＝497×4＋2)就穩操勝券了。
計算“斷電”的時間
為什麼用兩支蠟燭能夠計算出“斷電”的時間
小聰每天晚上都溫習功課，他正在聚精會神地解方程，忽然房間裏的電燈熄滅了：保險絲燒斷了，他馬上點燃了書桌上備用的兩支蠟燭，繼續解方程，直到電燈修複。
忽然，小聰腦袋閃出一個念頭：我是否可以根據兩支蠟燭的燃燒程度斷定斷電的時間。
他回想和觀察了一下條件：
1雖不知道蠟燭的原始長度但他記得兩支蠟燭是一樣長短。
2粗的一支能用5小時，細的一支能用4小時。
3殘燭的長度一支等於另一支的4倍。
他得意起來：這不正是一道解方程的習題嗎。不到一刻鍾，他的練習本上就得出了“斷電”時間：3小時45分鍾。
你知道他是怎樣解決這個問題的嗎?
隻需要列一個簡單的方程式。用x表示點蠟燭的小時數，每一小時燃粗蠟燭長度的15、細蠟燭長度的14。因此，粗蠟燭殘餘部分的長度應是1-x5，細蠟燭殘餘部分應是1-x4。我們知道兩燭長度相等並知細燭餘部的4倍即4(1-x4)等於粗燭殘餘長度1-x5。
即有4(1-x4)＝1-x5
解方程得x＝334所以，兩燭點燃了3小時45分鍾，亦是斷電時間。
從“猴子分桃子”談起
海灘上有一堆桃子，這是五個猴子的財產，它們要平均分配。第一個猴子來到海灘，它左等右等，未等來別的猴子，便把桃子平均分成五堆，還剩一個，它就把剩下的一個扔到海裏，自己拿起了5堆中的一堆。第二個猴子來了，它把剩下的桃子分成五堆，把剩下的一個又扔掉了，然後拿起一堆。以後每個猴子來了都是如此辦理，問原來至少有多少個桃子?最後海灘上至少剩下多少桃子?這就是著名的猴子分桃子問題。著名的英國物理學家狄拉克曾提出了一種解法，相當巧妙地解決了這個問題。
設原來桃子N個，而五個猴子分得的桃子數分別為A１，A２……A5，則得到
N=5A1＋1
4A1=5A2＋1
4A2=5A3＋1
4A3=5A1＋1
4A4=5A5＋1
經過一係列的代換，就可以得到N=3121，4A5=1020
其實這個答案是受到問題中“至少”這一前提限製而得到的，如果不考慮“至少”這個條件，符合前麵關係式的答案是很多的。例如N=6246，4A5=2044；N=15621，4A5=5116等等。
但是使人感興趣的不在於所得答案的多少，而是在於這類問題是怎樣解出的，原來“猴子分桃子”就是這樣的一個數學問題，若A0=N，A1=15(N-1)，5An＋1=4An-1
求An
解：由5An＋1=4An-1，5An=4An-1-1
兩式相減得：5(An＋1-An)=4(An-An-1)
令Bn=An＋1-An則有：Bn=45Bn-1
因此：
An=(An-An-1)+(An-1-An-2)+……+(A2-A1)+A1
=Bn-1+Bn-2+……+B1+A1
=1-(45)n-11-45B1+A1
=5B1［1-(45)n-1］+A1
又由於A1=15(N-1)
A2=15［45(N-1)-1］
則B1=A2-A1=-125(N+4)
於是：An=-15(N+4)［1-(45)n-1］+15(N-1)
=-1+4n-15n(N+4)
特別是當n=5時，有55(A5+1)=4４(N+4)。由於5與4互質，則N+4必為55的整數倍，即N+4=5５·P(P∈Z)，同時A５+1=4４·P令P=1即可求出前麵的結果。
從上麵的解法，我們看到，如果給定了必須的數列｛an｝的前幾項，再由給定的關於數列若幹連續的關係式，就可以由關係式推出一個新數列。因此，我們把這種關係式叫數列的逆推公式，由逆推公式得到的這種數列叫作逆歸數列。逆歸數列由於逆推公式的不同，因此求它的通項的方法也比較複雜。“猴子分桃子問題”在研究逆歸數列上確實起到了開路先鋒的作用。
為什麼烏鴉不一定喝到水
還在上小學的時候，大概我們就知道了聰明的烏鴉投石喝水的故事。那時候，無不為烏鴉的辦法叫好，沒有人去考慮烏鴉是否真正能喝到水的問題?現在，我們從幾何學體積計算的角度，倒真要研究研究這個問題了，烏鴉一定能喝到水嗎?
不難想象，當烏鴉把各種各樣形狀的小石子扔到瓶裏時，石子之間是不可能沒有空隙的。如果石子間的空隙較大，而且原來瓶子裏的水又比較少，那麼即使把瓶裏扔進了很多石子(當然是有限的)，水麵也不一定升到瓶口。隻有當瓶裏原有水的體積比所丟入的石子間全部空隙更大的時候，水才能充滿石子間的空隙，升到石麵上來，這樣烏鴉才能喝到水。
那麼瓶子到底應當有多少水，烏鴉才可能喝到水呢?
當然，這一個問題與石子的形狀及其排列方法是有關的。為了簡單起見，不妨我們假設烏鴉投進的石子都是大小一樣的球體，那麼很容易算出空隙部分的體積與瓶子體積的比大致是：
d3-πd36d3=48%
這就表示，按著上麵的條件，當瓶子裏放滿球形石子時，瓶裏所有空隙的總和，等於瓶的容積的一半稍小一些。假如烏鴉聰明得很，能使各個石子彼此間挨得更緊密，那麼至少空隙也得大於瓶子體積的13(計算麻煩一些)。由此看來，我們可以得出這樣的一個結果，瓶子裏原來的水至少也要占瓶高的三分之一，烏鴉才能喝到水。
我們這樣的計算當然也是實在為難烏鴉了，但是，從中不能不使我們在考慮這樣一個問題，在日常實際中，應當充分利用空間，減少浪費，將使我們獲得更高的效益。
怎樣才能使線路最短
對於平麵上三個點之間的線路最短問題解決以後，人們自然想到，平麵上四個點及多於四個點之間的最短線路問題：即對於任意幾個點之間的最短線路問題。數學家把它歸納為三個方麵的問題：
1.不增加附加點，如何求得最短線路F1?
2.允許增加若幹附加點，如何求得最短線路F2?加多少個點最好?加在何處?
3.F2比F1最多能縮短多少?
第1個問題已經圓滿解決了。與第1個問題相比較，第2、3個問題有著本質的困難。美國貝爾實驗室的亨利·波萊克博士和愛德加·吉爾伯特博士就第3個問題提出猜想：通過附加點得到的最短路線，最多隻能比原來的縮短134％。他們的猜想在1989年由中國科學院應用數學研究所研究員堵丁柱同美國貝爾實驗室的黃光明博士合作成功的給予了證明，從而從理論上徹底解決了第3個問題。這一成果受到國際數學界的廣泛關注，並被譽為該領域1989～1990年的兩項重大成果之一。
第2個問題至今還沒有得到解決。如果這個問題解決了，最短路線問題就徹底解決了。那時，最短路線問題將給現代社會的電子、通訊、交通和能源等領域帶來巨大的變化。超大規模的集成電路使得人們在1cm2的矽片上集成數以10萬計的元器件，如果能解決好元器件之間的最短連接線的問題，則不僅能簡化製造工藝，節約原料。而且能大大提高集成塊的運算速度。隨著電話的普及，上億部電話之間的電話線的聯網，也是十分複雜的最短路線問題。這個問題解決得好，既可少建很多交換台，又可節約大量的電話線，石油輸油管道的分布、高速公路網的修建和民航航線的開辟等等，都亟待解決最短路線問題。我們期待著這一問題的早日解決，更希望將來在同學們中能出現解決這一問題的人。
送錢不重走
阿裏巴巴從財主Ａ家偷了錢以後，挨家挨戶送，最後到Ｂ家。他走的是一條道，隻走一遍，不走第二遍(有走不通的路)，而且一家不漏。你猜猜，他是按照什麼樣的路線走的呢？
［答案：題中隻要求路不可以重複走，而且要一家不漏，並沒有要求每一家隻許去一次。
想到這點，問題就迎刃而解了。走法如上圖(右圖)。］