電子計算機
1946年在美國的賓夕法尼亞大學，誕生了世界上第一台電子計算機ENIAC。它是一個占地170平方米、重30噸的龐然大物，由18000個電子管組成，每小時耗電量為140千瓦，每秒鍾可進行5000次加法運算。它的最重要的特點是，能按照人編寫的程序自動地進行計算。
從1946年至今，經過40多年的發展，電子計算機的運算速度越來越快，複雜程度越來越高，體積越來越小，更新周期越來越短。我國的“銀河”巨型計算機的運算速度已達到每秒1億次，國外的先進計算機的運算速度還要快。就機器本身來說，電子計算機已“進化”到第四代了。
第一代以電子管為主要元件。利用這一代計算機，人們把人造衛星送上了天。
第二代以晶體管構成基本電路。開始有了算法語言和編譯係統。運算速度達每秒幾百萬次，體積、重量、耗電量、造價都大大減少。
第三代是中小規模集成電路計算機。這時已有操作係統，小型機廣泛應用，有了終端與網絡，運算速度達每秒幾千萬次。
第四代是大規模集成電路組成的機器。體積與成本大幅度減少。這時製成了微型計算機，在工業、科學研究和家庭生活中廣泛應用。
第五代電子計算機實際是智能計算機，具有模仿人腦思維過程的能力。從1979年起，日本等國組織了各方麵的專家，開始了對這種計算機的研製，現已取得初步進展。
作為一種計算工具，電子計算機和一般計算工具相比，有以下幾個特點：(1)運算速度快。運算速度高的電子計算機每秒能進行十幾億次運算。速度較慢的微型電子計算機，每秒鍾也能進行10萬次運算。(2)計算精度高。現代電子計算機計算的值可達到64位數。(3)具有“記憶”和邏輯判斷能力。電子計算機可以記錄程序、原始數據和中間結果，還能進行邏輯推理和定理證明。(4)能自動地進行控製，不必人工幹預。
電子計算機的應用已迅速滲透到人類社會的各個方麵。從宇宙飛船、導彈的控製、原子能的研究及人造衛星等尖端科技領域，到工業生產、企業管理、日常生活等都不同程度地應用了計算機。有人斷言，現代社會的每一項活動中都有電子計算機的蹤跡。
數的家族成員
1，2，3……
12，45，7916……
-3，-8-11……
2，π，e……
這各種各樣的數，都有自己的“身份”，它們共同組成數的家族。
第一組成員是自然數。小時扳手指頭數地的1，2，3……就是自然數。這也是我們祖先最早認識的數，自然數稱為正整數。
第二組成員是分數。5個人分3個蘋果，古人最初是這樣做的：把一個蘋果分成相同的五份，每人取一份，即15，對另兩個蘋果做同樣的分配，最後每人得到3個15，這就是我們所說的35。分數的記載最先出現在距今四千多年的古埃及紙草書中。
零的出現是比較晚的，從“無”到“零”的認識是一個漫長的過程。據說公元前二百年，希臘人已有零號的記載，但真正把零當作一個獨立的數來使用是公元9世紀由印度人做出的。
負數在中國的西漢時期(約公元前2世紀)已經萌牙，並最先作為數學的研究對象出現在公元1世紀的《九章算術》中。
正整數(自然數)、零和負整數就構成全體整數。正分數和負分數構成全體分數。
整數和分數構成了有理數。當然，廣義的分數中已經包括了整數，因為可以把整數看成分母是1的分數。
每個有理數都可以表示成兩個整數的比。但是，公元前5世紀希臘數學家發現2不可能表示成兩個整數之比，因而引起了一場極大的風波。後來把不能表示成兩個整數之比的數稱為無理數。現在我們知道無理數比有理數要多得多。
有理數和無理數統稱為實數。在實數範圍內，方程x2+1=0是無解的。於是，科學家引入了+bi的數就稱為複數，而i=稱為虛數單位。
除此之外，還有新的數。如果學習高等數學，會遇到四元數、各種超複數，以及類似的數學對象。隨著數學的發展，數的家族將不斷增加新的成員。
正確數字填空格
每個圓圈中的數字都有其特殊的聯係，考考你的計算能力，把正確的數字填在空格裏。
［答案：8，10，27，3，36，30。］
0的意思
0，通常表示什麼也沒有。但實際上零表示的意義非常豐富。
0不但可以表示沒有，也可以表示有。電台、電視裏報告氣溫是0℃，並不是指沒有溫度，而是相當於華氏表32度，這也是冰點的溫度。0還可以表示起點，如發射導彈時的口令是：“9，8，7，6，5，4，3，2，1，0——發射”。0在數軸上作為原點，也是起點的意思。0還可以表示精確度。如在近似計算中，75與750表示精確程度不同。
在實數中，0又是正數與負數間的唯一中性數，具備下麵一些運算性質：
a+0=0+a=a
a-0=a0-a=-a
0×a=a×0=0，y0÷a=0，(a≠0)
0不能作除數，0也沒有倒數；
0的絕對值和相反數都是0；
任意多個0相加和相乘都等於0。
在指數和階乘運算中，還有：a°=1(其中a≠0)。
0在複數中，是唯一輻角沒有定義的複數。0還沒有對數。現代電子計算機用的二進製中，0還是一個基本數碼。
在0發明之前，我們祖先記數的方法是繁瑣而不完善的，要記一個大數就要將某些符號重寫多次。在采用了印度一阿拉伯數碼，而沒有用0這個符號時，前人將一百萬、三萬、四百、五這幾個數之和表示為：1345，這種表示就會產生誤解，或是一百零三萬四百零五，或是一千三百四十五。於是用打格的辦法來區分：
1345空的地方表示空位。但這又使運算變得很麻煩。采用0後，就可以簡潔地寫成：1030405。因此，沒有采用0之前，可以說記數法是不完整的。
0是數學中最有用的符號之一，但它的發明是來之不易的。古埃及雖建造了宏偉的金字塔，但不會使用0；巴比倫人發明了楔形文字，也不會使用0；中國古代用籌運算時，怕定位發生錯誤，開始用□代表空位，為書寫方便逐漸寫成○。公元2世紀希臘人在天文學上用○表示空位，但不普遍。比較公認的是印度人在公元6世紀最早用黑點(·)表示零，後來逐漸變成了0。
小數的經曆
有了小數之後，記數就更方便了。如圓周率近似值31416，若用分數表示，就得寫成39271250，很麻煩，何況還有更多位的小數和更複雜的運算。有位著名的美國數學史家說：“近代計算的奇跡這股動力來自三項發明，印度記數法、十進分數和對數。”這裏所說的十進分數就是指小數。
在西方，一般認為小數是比利時數學家斯蒂文發明的。但最早使用現代意義的小數點的是德國數學家克拉維斯，他在1593年使用了小數點。但是直到19世紀末，小數的記號仍很混亂。就是在現代，小數點也分為歐洲大陸派和英美派兩種記法，前者采用逗號“，”，後者則堅持用圓點“”。
實際上，早在斯蒂文發明小數點之前很久，中國、印度和中亞就已經使用十進分數了，也即小數。
公元3世紀，我國魏晉時期劉徽的《九章算術注》中，有三處運用了十進分數的思想。到了南北朝時期，在曆法中大量使用了下列記法：
十一萬八千二百九十六二十五(11829625)
九十八三(983)
百一十九一十二(11912)
這種寫法和西方直到19世紀仍在流行的小數記法25或25，幾乎是完全相同的。
到了宋元時期，更有下列記法：
(324506，1247年)
(025，1247年)
(-05，1248年)
這些記法都遠遠勝過三百多年後斯蒂文的記法。
中亞的阿爾卡西是世界上除中國人之外第一個應用十進分數的。他的用法體現在他1427年的《算術之鑰》一書中。
不論在東方還是西方，對小數的認識都經過了幾百年甚至上千年的演變。
虛數
“虛數”這個名詞，聽起來好像“虛”，實際上卻非常“實”。
虛數是在解方程時產生的。求解方程時，常常需要將數開平方。如果被開方數不是負數，可以算出要求的根；如果是負數怎麼辦呢?
譬如，方程x2+1=0，則x2=-1，x=±-1。那麼-1有沒有意義呢?在很久之前，大多數數學家認為負數沒有平方根。到了16世紀中葉，意大利數學家卡爾丹發表了《大法》這一數學著作，介紹了三次方程的求根公式。他不僅討論了正根和負根，還討論了虛數根。如解x3-15x+4=0這一方程時，依據他的求根公式，會得到：
x=-2+-121其中-121就是負數的平方根。卡爾丹寫出了負數的平方根，但他認為這也僅僅是形式表示而已。說明他對負數平方根的性質並不了解。1637年，法國數學家笛卡爾開始用“實數”、“虛數”兩個名詞。1777年，瑞士數學家歐拉開始用符號i=-1表示虛數的單位。而後人將實和虛數結合起來，寫成a+bi形式(a、b為實數)，稱為複數。
由於虛數闖進數學領域時，人們對它的實際用處一無所知，在實際生活中似乎也沒有用複數來表達的量，因此，在很長一段時間裏，人們對虛數產生了種種懷疑和誤解。笛卡爾稱“虛數”的本意是指它是虛假的；萊布尼茲在公元18世紀初則認為：“虛數是美妙而奇異的神秘隱蔽所，它幾乎是既存在又不存在的兩棲物”。歐拉盡管在許多地方用了虛數，但又說一切形如-1、-2的數學式都是不可能有的，純屬虛幻的。
歐拉之後，挪威一個測量學家維塞爾，提出把複數a+bi用平麵上的點(a，b)來表示。後來，高斯提出了複平麵的概念，終於使複數有了立足之地，也為複數的應用開辟了道路。現在，複數一般用來表示向量(有方向的數量)，這在水力學、地圖學、航空學中的應用是十分廣泛的。虛數越來越顯示出其豐富的內容，真是：虛數不虛!
無限大與無限小
人們一般碰到的數，無論是實數還是複數，都有確定的量值，換句話說是有限的。這反映了我們通常碰到的事物是有限的，總可以用這些數計量。
人類的長期的認識過程中，又逐漸產生兩個新的概念。最早的時候，人們將整個宇宙理解為地球，航海學的測量又測得地球半徑為6370公裏，對人們來說，那是一個非常大的數。16世紀，哥白尼的“日心說”又將宇宙擴大到以太陽為中心的太陽係，太陽係的半徑為60億公裏，約是地球半徑的94萬倍，地球與之相比隻是滄海一粟了。18世紀，人們的視野擴展到銀河係，銀河係的直徑相當於93312×1017公裏，這個數字更是大得驚人。隨著科學技術的發展，人們借助射電望遠鏡，又將宇宙範圍擴展到星係團、超星係團，以至總星係。這些星係的半徑都在數百萬光年(光年即光走一年的路程，約93312×1017公裏)以上，這個數字簡直是無法把握的。總星係之上當然還有更大的宇宙，永遠不會窮盡。這樣就出現了無限大的概念，數學上記為∞。它的含義是比任何數都大的數，這個數當然是虛擬的，不是一個確定的數。
在微觀世界，人類的認識也從分子認識到原子，從原子認識到原子核。原子核的直徑約10-13厘米，原子核還可以分解為質子、中子，它們的直徑更小。這一分解過程也可以無窮盡地進行下去。這樣就帶來了無限小的概念。
無限大、無限小的含義已經涉及數的變化趨勢了，這是從確定量到變量的過渡中產生的數，是微積分的基礎。
將循環小數化成分數
將循環小數化成分數，是解決有關循環小數的基本方法。怎樣才能將循環小數化成分數呢?這要請我們的老朋友——9來幫助解決問題。我們知道，在數列計算中，有一個無窮等比數列的求和公式s＝a1-q。其中a是這個數列的第一項，q是公比。下麵要用這個公式來研究化循環小數為分數的方法。先觀察下麵兩個循環小數：0666……＝06·，0242424……＝02·4·。它們都是從小數點後的第一位開始循環的，叫做純循環小數。為了便於計算，先將它們寫成分數的和的形式：
0666……＝06+006+0006+……
＝610+6100+61000+610000+……
0242424……＝024+00024+0000024+……
＝24100+241000+241000000+……
這就變成了無窮遞縮等比數列的形式。06666……的公比是110，而0242424……的公比是1100。根據求和公式得：
066……＝6101-110＝６10-1＝69，
02424……＝241001-1100＝24100-1＝2499。
由此可以看出，要把純循環小數化為分數，隻要把一個循環節的數化為分子，讓分母由9組成，循環節有幾位數字，分母是幾個9就行了。例如：
04444……＝04＝49
05656……＝056＝5699，
031233123……＝03123＝31239999＝3471111。
下麵再來看看以下兩個循環小數：
02888……＝028，03545454……＝0354它們都不是從小數點的第一位開始循環的，這叫混循環小數。用分數的和可表示為：
02888……＝210+8100+81000+810000+……
035454……＝310+541000+54100000+……
這種和的形式，從第二項起，構成了一個分別以110，1100為公比的無窮遞縮等比數列。由求和公式得：
02888……＝210+81001-110＝210+8100-10＝210+890＝2×9+890＝2690＝1345。
035454……＝310+5410001-1100＝310+541000-10＝310+54990＝3×99+54900＝351990＝39110。
由此可以看出：把混循環小數化為分數，先去掉小數點，再用第二個循環節以前的數字減去不循環部分的數字，將得到的差作為分子；分母由9和0組成，9的個數等於一個循環節的位數，9的後麵寫0，0的個數等於不循環部分的位數。例如：
02777……＝027＝27-290＝2590＝518。
031252525……＝03125＝3125-319900＝15474950。
數學的變化雖是無窮的，在研究了大量的現象或大量的例題後，應學會從特殊的問題中，總結出一般規律的思考方法。這種由特殊情況歸納出一般情況的方法稱為經驗歸納法。
邏輯體係的奇跡
公元前3世紀時，最著名的數學中心是亞曆山大城；在亞曆山大城，最著名的數學家是歐幾裏得。
歐幾裏得知識淵博，數學造詣精湛，尤其擅長於幾何證明。連當時的國王也經常向他請教數學問題。有一次，國王做一道幾何證明題，接連做了許多天都沒有做出來，就問歐幾裏得，能不能把幾何證明搞得稍微簡單一些。歐幾裏得認為國王想投機取巧，於是不客氣地回答說：“陛下，幾何學裏可沒有專門為您開辟的大道!”這句話長久地流傳下來，許多人把它當做學習幾何的箴言。
在數學上，歐幾裏得最大的貢獻是編了一本書。當然，僅憑這一本書，就足以使他獲得不錯的聲譽。
這本書，也就是震爍古今的數學巨著《幾何原本》。
為了編好這本書，歐幾裏得創造了一種巧妙的陳述方式。一開頭，他介紹了所有的定義，讓大家一翻開書，就知道書中的每個概念是什麼意思。例如，什麼叫做點?書中說：“點是沒有部分的。”什麼叫做線?書中說：“線有長度但沒有寬度。”這樣一來，大家就不會對書中的概述產生歧義了。
接下來，歐幾裏得提出了5個公理和5個公設：
公理1與同一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的。
公理2等量加等量，總量仍相等。
公理3等量減等量，總量仍相等。
公理4彼此重合的東西彼此是相等的。
公理5整體大於部分。
公設1從任意的一個點到另外一個點作一條直線是可能是。
公設2把有限的直線不斷循直線延長是可能的。
公設3以任一點為圓心和任一距離為半徑作一圓是可能的。
公設4所有的直角都相等。
公設5如果一直線與兩直線相交，且同側所交兩內角之和小於兩直角，則兩直線無限延長後必相交於該側的一點。
在現在看來，公理與公設實際上是一回事，它們都是最基本的數學結論。公理的正確性是毋庸置疑的，因為它們都經過了長期實際踐的反複檢驗。而且，除了第5公設以外，其他公理的正確性幾乎是“一目了然”的。想想看，你能找出一個例子，說明這些公理不正確嗎?
這些公理是幹什麼用的?歐幾裏得把它們作為數學推理的基礎。他想，既然誰也無法否認公理的正確性，那麼，用它們作理論依據去證明數學定理，隻要證明的過程不出差錯，定理的正確性也是理論證據，卻能推導出新的數學定理來。這樣，就可以用一根邏輯的鏈條，把所有的定理都串聯起來，讓每一個環節都銜接得絲絲入扣，無懈可擊。
在《幾何原本》裏，歐幾裏得用這種方式，有條不紊地證明了467個重要的數學定理。
從此，古希臘豐富的幾何學知識，形成了一個邏輯嚴謹的科學體係。