這是一個奇跡!2000多年後，大科學家愛因斯坦仍然懷著深深的敬意稱讚說：這是“世界第一次目睹了一個邏輯體係的奇跡”。
尺規作圖拾趣
希臘是奧林匹克運動的發源地。奧運會上的每一個競賽項目，對運動器械都有明確的規定，不然的話，就不易顯示出誰“更快、更高、更強”。一些古希臘人認為，幾何作圖也應像體育競賽一樣，對作圖工作作一番明確的規定，不然的話，就不易顯示出誰的邏輯思維能力更強。
應該怎樣限製幾何作圖工具呢?他們認為，幾何圖形都是由直線和圓組成的，有了直尺和圓規，就能作出這兩樣圖形，不需要再添加其他的工具。於是規定在幾何作圖時，隻準許使用圓規和沒有刻度的直尺，並且規定隻準許使用有限次。
由於有了這樣一個規定，一些普普通通的幾何作圖題，頃刻間身價百倍，萬眾矚目，有不少題目甚至讓西方數學家苦苦思索了2000多年。
尺規作圖特有的魅力，使無數的人沉湎其中，樂而忘返。連拿破侖這樣一位威震歐洲的風雲人物，在轉戰南北的餘暇，也常常沉醉於尺規作圖的樂趣中。有一次，他還編了一道尺規作圖題，向全法國數學家挑戰呢。
拿破侖出的題目是：“隻準許使用圓規，將一個已知圓心的圓周4等分。”
由於圓心O是已知的，求出這個題目的答案並不難。
我們可以在圓周上任意選一點A，用圓規量出OA的長度，然後以A點為圓心畫弧，得到B點；再以B點為圓心畫弧，得到C點；再以C點為圓心畫弧，得到D點。這時，用圓規量出AC的長度，再分別以A點和D點為圓心畫兩條弧，得到交點M。接下來，隻要用圓規量出OM的長度，逐一在圓周上劃分，就可以把圓周4等分了。
如果再增添一把直尺，將這些4等分點連接起來，就可以得到一個正4邊形。由此不難看出，等分圓周與作正多邊形實際上是一回事。
隻使用直尺和圓規，怎樣作出一個正5邊形和正6邊形呢?
這兩個題目都很容易解答，有興趣的讀者不妨試一試。
不過，隻使用直尺和圓規，要作出正7邊形可就不那麼容易了。別看由6到7，僅僅隻增加了一條邊，卻一躍成為古代幾何的四大名題之一。尺規作圖題就是這樣變化莫測。
這個看上去非常簡單的題目，曾經使許多著名數學家都束手無策。後來，大數學家阿基米德發現了前人之所以全都失敗了的原因：正7邊形是不能由尺規作出的。阿基米德從理論上嚴格證明了這一結論。
那麼，采用尺規作圖法，究竟有哪些正多邊形作得出來，有哪些作不出來呢?
有人猜測：如果正多邊形的邊數是大於5的質數，這種正多邊形就一定作不出來。
17是一個比5大的質數，按上麵這種說法，正17邊形是一定作不出來的。在過去的2000年裏，確實有許多數學家試圖作出正17邊形，但無一不遭受失敗。豈料在1796年，18歲的大學生高斯居然用尺規作出了一個正17邊形，頓時震動了整個歐洲數學界。
這件事也深深震動了高斯，使他充分意識到自己的數學能力，從此決心獻身於數學研究，後來終於成為一代數學大師。
高斯還發明了一個判別法則，指出什麼樣的正多邊形能由尺規作出，什麼樣的正多邊形則不能，圓滿地解決了正多邊形的可能性問題。高斯的判別法則表明，能夠由尺規作出的正多邊形是很少的，例如，在邊數是100以內的正多邊形中，能夠由尺規作出的隻有24種。
有趣的是，正7邊形的邊數雖少，卻不能由尺規作出；而正257邊形，邊數多得叫人實際上很難畫出這樣的圖形，卻一定可由尺規作出。1832邊形，邊數多得叫人實際上很難畫出這樣的圖形，卻一定可由尺規作出。1832年，數學家黎克洛根據高斯指出的原則，解決了正257邊形的作圖問題。他的作圖步驟極其繁瑣，寫滿了80頁紙，創造了一項“世界紀錄”。
不久，德國人赫爾梅斯又刷新了這個紀錄。他費了10年功夫，解決了正65537邊形的作圖問題。這是世界上最繁瑣的尺規作圖題。據說，赫爾梅斯手稿可以裝滿整整一手提箱呢!
有形狀的數
畢達哥拉斯不僅知道奇數、偶數、質數、合數，還把自然數分成了親和數、虧數、完全數等等。他分類的方法很奇特，其中，最有趣的是“形數”。
什麼是形數呢？畢達哥拉斯研究數的概念時，喜歡把數描繪成沙灘上的小石子，小石子能夠擺成不同的幾何圖形，於是就產生一係列的形數。
畢達哥拉斯發現，當小石子的數目是1、3、6、10等數時，小石子都能擺成正三角形，他把這些數叫做三角形數；當小石子的數目是1、4、9、16等數時，小石子都能擺成正方形，他把這些數叫做正方形數；當小石子的數目是1、5、12、22等數時，小石子都能擺成正五邊形，他把這些數叫做五邊形數……
這樣一來，抽象的自然數就有了生動的形象，尋找它們之間的規律也就容易多了。不難看出，頭四個三角形數都是一些連續自然數的和。瞧，3是第二個三角形數，它等於1＋2；6是第三個三角形數，它等於1＋2＋3；10是第四個三角形數，它等於1＋2＋3＋4。
看到這裏，人們很自然地就會生發出一個猜想：第五個三角形數應該等於1＋2＋3＋4＋5，第六個三角形數應該等於1＋2＋3＋4＋5＋6，第七個三角形數應該等於……
這個猜想對不對呢？
由於自然數有了“形狀”，驗證這個猜想費不了什麼事。隻要拿15個或者21個小石子出來擺一下，很快就會發現：它們都能擺成正三角形，都是三角形數，而且正好就是第五個和第六個三角形數。
就這樣，畢達哥拉斯借助生動的幾何直觀，很快就發現了自然數的一個規律：連續自然數的和都是三角形數。如果用字母n表示最後一個加數，那麼1＋2＋…＋n的和也是一個三角形數，而且正好就是第n個三角形數。
畢達哥拉斯還發現，第n個正方形數等於n2，第n個五邊形數等於n（3n－1）／2，第n個六邊形數等於2n（n－1）……根據這些規律，人們就可以寫出很多很多的形數。
不過，畢達哥拉斯並不因此而滿足。譬如三角形數，需要一個數一個數地相加，才能算出一個新的三角形數，畢達哥拉斯認為這太麻煩了，於是著手去尋找一種簡捷的計算方法。經過深入探索自然數的內在規律，他又發現，
1＋2＋……＋n＝12×n×（n＋1）
這是一個重要的數學公式，有了它，計算連續自然數的和可就方便多了。例如，要計算一堆電線杆數目，用不著一一去數，隻要知道它有多少層就行了。如果它有7層，隻要用7代替公式中的n，就能算出這堆電線杆的數目。
1＋2＋3+4＋5＋6＋7
＝12×7×（7＋1）＝28（根）
就這樣，畢達哥拉斯借助生動的幾何直觀，發現了許多有趣的數學定理。而且，這些定理都能以純幾何的方法來證明。
例如，在一些正方形數裏，左上角第一個框內的數是1，它是1的平方；第二框內由1＋3組成，共有4個小石子，它是2的平方；第三個框內由1＋3＋5組成，共有9個小石子，它是3的平方。……由此不難看出，隻要在正方形數上作些記號，就能令人信服地說明一個數學定理：“從1開始，任何個相繼的奇數之和是完全平方。”即
1＋3＋5＋……＋（2n－1）＝n2
破碎的數
在拉丁文裏，分數一詞源於frangere，是打破、斷裂的意思，因此分數也曾被人叫做是“破碎數”。
在數的曆史上，分數幾乎與自然數同樣古老，在各個民族最古老的文獻裏，都能找到有關數的記載，然而，分數在數學中傳播並獲得自己的地位，卻用了幾千年的時間。
在歐洲，這些“破碎數”曾經令人談虎色變，視為畏途。7世紀時，有個數學家算出了一道8個分數相加的習題，竟被認為是幹了一件了不起的大事情。在很長的一段時間裏，歐洲數學家在編寫算術課本時，不得不把分數的運算法則單獨敘述，因為許多學生遇到分數後，就會心灰意懶，不願意繼續學習數學了。直到17世紀，歐洲的許多學校還不得不派最好的教師去講授分數知識。以致到現在，德國人形容某個人陷入困境時，還常常引用一句古老的諺語，說他“掉進分數裏去了”。
一些古希臘數學家幹脆不承認分數，把分數叫做“整數的比”。
古埃及人更奇特。他們表示分數時，一般是在自然數上麵加一個小圓點。在5上麵加一個小圓點，表示這個數是1／5；在7上麵加一個小圓點，表示這個數是1／7。那麼，要表示分數2／7怎麼辦呢？古埃及人把1／4和1／28擺在一起，說這就是2／7。
1／4和1／28怎麼能夠表示2／7呢？原來，古埃及人隻使用單分子分數。也就是說，他們隻使用分子為1的那些分數，遇到其他的分數，都得拆成單分子分數的和。1／4和1／28都是單分子分數，它們的和正好是2／7，於是就用14+128來表示2／7。那時還沒有加號，相加的意思要由上下文顯示出來，看上去就像把1／4和1／28擺在一起表示了分數2／7。
由於有了這種奇特的規定，古埃及的分數運算顯得特別繁瑣。例如，要計算5／7與5／21的和，首先得把這兩個分數都拆成單分子分數：
57+521＝(12+17+114)+(17+114+142)；
然後再把分母相同的分數加起來：
12+27+214+142；
由於算式中出現了一般分數，接下來又得把它們拆成單分子分數：
12+14+17+128+142。
這樣一道簡單的分數加法題，古埃及人算起來都這麼費事，如果遇上複雜的分數運算，他們算起來又該是何等的吃力。
在西方，分數理論的發展出奇地緩慢，直到16世紀，西方的數學家們才對分數有了比較係統的認識。甚至到了17世紀，數學家科克在計算35+78+910+1220時，還用分母的乘積8000作為公分母！
而這些知識，我國數學家在2000多年前就都已知道了。
我國現在尚能見到最早的一部數學著作，刻在漢朝初期的一批竹簡上，名字叫《算數書》。它是1984年初在湖北省江陵縣出土的。在這本書裏，已經對分數運算作了深入的研究。
稍晚些時候，在我國古代數學名著《九章算術》裏，已經在世界上首次係統地研究了分數。書中將分數的加法叫做“合分”，減法叫做“減分”，乘法叫做“乘分”，除法叫做“經分”，並結合大量例題，詳細介紹了它們的運算法則，以及分數的通分、約分、化帶分數為假分數的方法步驟。尤其令人自豪的是，我國古代數學家發明的這些方法步驟，已與現代的方法步驟大體相同了。
例如：“又有九十一分之四十九，問約之為幾何？”書中介紹的方法是：從91中減去49，得42；從49中減去42，得7；從42中連續減去7，到第5次時得7，這時被減數與減數相等，7就是最大的公約數。用7去約分子、分母，那就得到了49／91的最簡分數7／13。不難看出，現在常用的輾轉相除法，正是由這種古老的方法演變而來。
公元263年，我國數學家劉徽注釋《九章算術》時，又補充了一條法則：分數除法就是將除數的分子、分母顛倒與被除數相乘。而歐洲直到1489年，才由維特曼提出相似的法則，已比劉徽晚了1200多年！
蘇聯數學史專家鮑爾加爾斯基公正地評價說：“從這個簡短的論述中可以得出結論：在人類文化發展的初期，中國的數學遠遠領先於世界其他各國。”
天外來客
我們在前麵講述過畢達哥拉斯的故事。在西方數學史上，他還以發現畢達哥拉斯定理而聞名。
畢達哥拉斯定理的內容是：在直角三角形裏，兩條直角邊的平方和，一定等於斜邊的平方。這是幾何學裏一個非常重要的定理。相傳畢達哥拉斯發現這個定理以後，高興得不得了，宰了100頭牛大肆慶賀了許多天。
說來有趣，正是這個讓他欣喜若狂的定理，後來又使他狼狽萬分，幾乎無地自容。
畢達哥拉斯有一句名言，叫做“萬物皆數”。他把數的概念神秘化了，錯誤地認為：宇宙間的一切現象，都可以歸結為整數或者整數的比；除此之外，就不再有別的什麼東西了。
問題就出在這裏。有一天，畢達哥拉斯的一個學生，在世界上找到了一種既不是整數，又不是整數之比的怪東西。
這個學生叫希伯斯，他研究了一個邊長為1的正方形，想知道對角線的長度是多少。
從圖上看得很清楚，對角線與正方形的兩條邊組成了一個直角三角形。根據畢達哥拉斯定理，希伯斯算出對角線的長度等於2。可是，2既不是整數，也不是整數的比。他惶惑極了：根據老師的看法，2應該是世界上根本不存在的東西呀？
希伯斯把這件事告訴了老師。畢達哥拉斯驚駭極了，他做夢也沒想到，自己最為得意的一項發明，竟招來一位神秘的“天外來客”。
畢達哥拉斯無法解釋這種怪現象，又不敢承認2是一種新的數，因為他的全部“宇宙”理論，都奠基在整數的基礎上。他下令封鎖消息，不準希伯斯再談論2，並且警告說，不要忘記了入學時立下的誓言。
原來，畢達哥拉斯學派是一個非常著名的科學會社，也是一個非常神秘的宗教團體。每個加入學派的人都得宣誓，不將學派裏發生的事情告訴給外人。誰要是違背了這個規矩，任他逃到天涯海角，也很難逃脫無情的懲罰。
希伯斯很不服氣。他想，不承認2是數，豈不等於是說正方形的對角線沒有長度嗎？簡直是睜著眼睛說瞎話！為了堅持真理，捍衛真理，希伯斯將自己的發現傳揚了出去。
畢達哥拉斯惱羞成怒，給希伯斯羅織了一個“叛逆”的罪名，決定嚴加“懲罰”。希伯斯聽到風聲後連夜逃走了，他東躲西藏，最後逃上了一艘海船離開了希臘，沒想到在茫茫大海上，還是遇到了畢達哥拉斯派來追他的人……
真理是打不倒的。畢達哥拉斯能夠“懲罰”希伯斯，卻“懲罰”不了2。這位神秘的“天外來客”不但逍遙法外，反而引來更多的同伴：3、5、7……頻繁地出現在各類數學問題中，使得古希臘數學家傷透了腦筋……
直到最近幾百年，數學家們才弄清楚，2確實不是整數，也不是分數，而是一種新的數，叫做無理數。
無理數也就是無限不循環的小數。2是人類最先認識的一個無理數。1971年10月，一位美國數學家在電子計算機上運算了475個小時，求出了2小數點後的100082位數，得到的仍然是個近似值。分析這樣一個精確的近似值，人們仍然看不到2的小數部分有一絲循環的跡象。
畢達哥拉斯扮演了一個可悲的角色。他不知道，無理數概念的產生，是數學史上一個重大的發現，也是整個畢達哥拉斯學派的光榮。
劃分試驗田
良種培育場準備在一塊試驗田裏種植8種不同品種的水稻，8種水稻的種植麵積必須相同。
該怎麼劃分這塊試驗田呢？
［答案：如圖。］
莊家為什麼會贏
所謂“機會型”賭博，就是說勝敗完全靠碰運氣，它最容易引誘青少年上當。因為表麵上看來機會均等，甚至有利於參加者，事實上，幾乎所有的“機會型”賭博，機會都不是均等的，總是有利於莊家的。這究竟是為什麼呢？
我們來看一種在國外頗為盛行的賭博——“碰運氣遊戲”。它的規則如下：每個參加者每次先付賭金1元，然後將三個骰子一起擲出。他可以賭某一個點數，譬如賭“1”點。如果三枚骰子中出現一個“1”點，莊家除把賭金1元發還外，再獎1元；如果出現兩個“1”點，發還賭金外，再獎2元；如果全是“1”點，那麼發還賭金，再獎3元。
看起來，一枚骰子賭“1”點，取勝的可能性是1/6；那麼兩枚骰子就有1/3的可能性，三枚也就有1/2的可能性。即使是1元對1元的獎勵，機會也是均等的，何況還可能有2倍、3倍獎勵的可能性，自然是對參加者有利。其實，這隻是一個假象。
我們來計算一下，三枚骰子一起擲，會出現怎樣的情況？第一枚有6種可能，而對於它的每一種結果，第二枚又有6種可能，第三枚也是如此，所以一共有6×6×6＝216種可能結果。在這216種可能結果中，三枚點數各不相同的可能就是6×5×4＝120種。三枚點數完全相同的可能隻有6種，即都是“1”、“2”……“6”。餘下的216－120－6＝90種可能，就是三枚中有兩枚點數相同的情況。
一個參加者，假設他總是賭“1”點，如果賭了216次，那麼他能有幾次獲獎呢？先來看隻有一枚出現“1”點的情況：出現“1”點的骰子可能是第一枚，也可能是第二或第三枚，共有三種可能，而其餘兩枚不出現“1”點的可能性有5×5＝25種，所以共有3×25＝75種可能。這75種可能出現時，他可獲2元，那麼總共可獲75×2＝150元。再來看出現兩枚“1”點的可能性：可以出現在第一和第二枚，也可以是第一和第三枚，還可以是第二和第三枚，也是三種可能；而另一枚骰子不出現“1”點隻有5種可能，所以共有15種可能。這時，每次他可獲3元，共45元。最後，三枚都出現“1”點的隻有一種可能，這時，他可獲4元。
這樣，216次，他共獲150＋45＋4＝199元。但每次先付1元，他共付了216元。所以，一般來說，他會輸216－199＝17元。
我們再來看看莊家的情況。假設有6人參加賭博，每人分別賭“1”、“2”……“6”點，並且假定進行了216次。莊家每次收進了6元賭金，216次共收了6×216＝1296元。那麼他會付出多少呢？
從前麵的分析中我們已經知道，在216次中有120次結果是三枚骰子點數各不相同的。譬如，出現了“1”、“2”、“3”，於是賭“4”、“5”、“6”點的三位參加者就輸了。莊家要付給贏的三家每人2元，共6元，120次，共計6×120＝720元。另外有90次是有兩枚骰子點數相同的，譬如“1”、“1”、“2”，那麼，賭“3”、“4”、“5”、“6”點的就輸了，賭“2”點的可得2元，賭“1”點的可得3元，莊家每次付出5元，90次共計5×90＝450元。最後，還有6次是三枚骰子點數完全相同的，譬如都是“1”，這時，隻有賭“1”點的贏，可得4元，6次，共24元。