獨辟蹊徑
度天下之方圓
有一個氣魄宏偉的動人故事，叫大禹治水。
故事發生在遙遠的公元前21世紀，那時，我國的黃河流域經常“洪水滔天”。洪水吞沒田園，衝毀房舍，使人們流離失所。於是，各個部落的人們團結起來，與大自然展開了一場艱苦卓絕的鬥爭。
起初，這場鬥爭由大禹的父親鯀來指揮。鯀一心想把事情辦好，但采用的方法不對，他一味強調，“水來土掩”，哪裏有洪水就派人到哪裏去堵，結果越堵水患越嚴重。
鯀治水失敗後，大禹挺身而出，擔負起領導治水的重任。他認為要製服水患，就必須因勢利導，根據河流的走勢宣泄水流。為了規劃出一套正確的治水方案，大禹不辭辛勞地爬山涉水，實地勘察山川形勢。他三過家門而不入，領導人們開山劈嶺，疏浚河道，廣修溝渠，奮戰12年，終於“開九州，通九道”，製服了水患，譜寫了一曲人定勝天的凱歌。
不具備相當的數學知識，就很難完成這項規模巨大的工程。所以，史書在記載大禹治水的動人事跡時，都沒有忘記加上一句，大禹“左準繩，右規矩”。意思是大禹隨身攜帶著規、矩這兩樣測量工具。
規矩是什麼樣的奇妙工具？竟能用來“望山川之形，定高下之勢”，在改造大自然的鬥爭中大建奇功？
在山東省嘉祥縣一座古代建築的石室造像中，依稀可見規矩的模樣。圖中有兩位古代神話中我們遠古祖先的形象，一位叫伏羲，一位叫女媧。伏羲手中的物體就是規，它呈兩腳狀，與現在的圓規相似；女媧手中的物體叫做矩，它呈直角拐尺形。
原來，規就是畫圓用的圓規，矩就是折成直角的曲尺。矩由長短兩把尺合成，短尺叫勾，長尺叫股，可以用來畫直線或者作直角。
公元前11世紀，有位叫商高的古代數學家，曾詳細介紹了用矩的方法。他說：
“把矩平放在地上，可以定出繩子的垂直；把矩豎立起來，可以測量物體的高度；把矩倒立過來，可以測量物體的深度；把矩平臥在地上，可以測量兩地之間的距離。矩旋轉一周，就形成了一個圓形，兩個矩合攏起來，就形成了一個方形。
“知天文識地理的人是很有學問的，而這種學問就來自勾股測量，勾股測量又依賴於矩的應用。矩與數結合起來，就可以設計和製作天下的萬物。”
瞧，矩的用途是多麼廣泛和靈活，我們的祖先又將它運用得多麼出神入化啊。
規矩究竟發明於何時，已經很難考察了，但它們起源於極遙遠的古代，卻是毋庸置疑的。在我國最早的文字甲骨文中，已有了規、矩這兩個字，其中的規字，就很像手執圓規畫圓的樣子。到了春秋戰國時期，書中關於規矩的論述更是多得不勝枚舉。墨子說過：造車的工匠“執其規矩，以度天下之方圓”；孟子說過：即使是離婁那樣眼光銳利的人，即使是魯班那樣心靈手巧的工匠，“不以規矩，不能成方圓”。可見至少從那時起，規與矩的應用在我國民間已經很普遍了。
給小畫家挑毛病
這幅畫是粗心的小畫家畫的，有什麼錯誤之處嗎？請你盡快回答。
［答案：(1)這是冬天，大雁早已南飛，不可能再有了。
(2)火車輪不能是橡膠的。
(3)鐵軌下麵沒畫枕木。
(4)炊煙和火車煙的方向不同。
(5)熊的腳印應該在它後麵，而不是前麵，或者熊應頭朝西。］
測算地球周長
公元前3世紀，有位古希臘數學家叫埃拉托斯芬。他才智高超，多才多藝，在天文、地理、機械、曆史和哲學等領域裏，也都有很精湛的造詣，甚至還是一位不錯的詩人和出色的運動員。
人們公認埃拉托斯芬是一個罕見的奇才，稱讚他在當時所有的知識領域都有重要貢獻，但又認為，他在任何一個領域裏都不是最傑出的，總是排在第二位，於是送他一個外號“貝塔”。意思是第二號。
能得到“貝塔”的外號是很不容易的，因為古代最偉大的天才阿基米德，與埃拉托斯芬就生活在同一個時代！他們兩人是親密的朋友，經常通信交流研究成果，切磋解題方法。大家知道，阿基米德曾解決了“砂粒問題”，算出填滿宇宙空間至少需要多少粒砂，使人們瞠目結舌。大概是受阿基米德的影響吧，埃拉托斯芬也回答了一個令人望而生畏的難題：地球有多大？
怎樣確定地球的大小呢？埃拉托斯芬想出一個巧妙的主意：測算地球的周長。
埃拉托斯芬生活在亞曆山大城裏，在這座城市正南方的785公裏處，另有一座城市叫塞尼。塞尼城中有一個非常有趣的現象，每年夏至那天的中午12點，陽光都能直接照射城中一口枯井的底部。也就是說，每逢夏至那天的正午，太陽就正好懸掛在塞尼城的天頂。
亞曆山大城與塞尼城幾乎處於同一子午線上。同一時刻，亞曆山大城卻沒有這樣的景象。太陽稍稍偏離天頂的位置。一個夏至日的正午，埃拉托斯芬在城裏豎起一根小木棍，動手測量天頂方向與太陽光線之間的夾角，測出這個夾角是72°，等於360°的1／50。
由於太陽離地球非常遙遠，可以近似地把陽光看做是彼此平行的光線。於是，根據有關平行線的定理，埃拉托斯芬得出了∠1=∠2的結論。
在幾何學裏，∠2這樣的角叫做圓心角。根據圓心角定理，圓心角的度數等於它所對的弧的度數。因為∠2＝∠1，它的度數也是360°的1／50，所以，圖中表示亞曆山大城和賽尼城距離的那段圓弧的長度，應該等於圓周長度的1／50。也就是說，亞曆山大城與塞尼城的實際距離，正好等於地球周長的1／50。
於是，根據亞曆山大城與塞尼城的實際距離，乘以50，就算出了地球的周長。埃拉托斯芬的計算結果是：地球的周長為39250公裏。
這是人類曆史上第一次進行這樣的測量。
聯想到埃拉托斯芬去世1800年後，仍然有人為地球是圓的還是方的而喋喋不休時，埃拉托斯芬高超的計算能力和驚人的膽識益發受到人們的稱頌。
幾何學的一大寶藏
100多年前，一位心理學家做了個有趣的實驗。他精心設計出許多不同的矩形，然後邀請許多朋友來參觀，請他們各自選擇一個自認為最美的矩形。結果，592位來賓選出了4個矩形。
這4個矩形看上去協調、勻稱、舒適，確實能給人一種美的享受。那麼，這種美的奧秘在哪裏呢？
心理學家動手測量了它們的邊長，發現它們的長和寬分別是：5、8；8，13；13，21；21，34。而這些邊長的比值，又都出乎意料地接近了0618。
58≈0625；813≈0615；
1321≈0619；2134≈0618。
這是一次偶然的巧合嗎？
選擇一扇看上去最勻稱的窗戶，量一量它的各個邊長吧；選一冊裝幀精美的圖書，算一算它邊長的比值吧……隻要留心觀察，就不難時時發現“0618”的蹤跡。有經驗的報幕員上台亮相，決不會走到舞台的正中央，而是站在近乎舞台長度的0618倍處，給觀眾留下一個美的形象……
哪裏有“0618”，哪裏就閃爍著美的光輝。連女神維納斯的雕像上也都烙有“0618”的印記。如若不信，不妨去算一算這尊女神身長與軀幹的比值，看看是不是接近於0618？而一般人身長與軀幹之比，大約隻有058。難怪芭蕾舞演員在翩翩起舞時，要不時地踮起腳尖呢。
這些都是偶然的巧合嗎？當然不是。數學家會告訴你，它們遵循著數學的黃金分割律。
公元前4世紀，有位叫攸多克薩斯的古希臘數學家，曾經研究過這樣一個問題：“如何在線段AB上選一點C，使得AB∶AC＝AC∶CB?”這就是赫赫有名的黃金分割。
C點應該選擇在什麼地方呢？不妨假設線段AB的長度是1，C點到A點的長度是X，則C點到B點的長度是（1－X），於是