那這位壽星到底年歲幾何呢?
上聯中的“花甲”是指60歲，“花甲重開”就是兩60，“三七歲月”是21歲，即60×2+21=141。
下聯中的“古稀”指七十歲，“古稀雙慶”就是兩個70歲，“一度春秋”就是1年，即70×2+1=141。
富蘭克林的遺囑
美國著名政治家富蘭克林在他的遺囑中，對自己的遺產作了具體的安排，其中談到：
“1000英鎊贈給波士頓的居民……把這筆錢按5％的利率借出。過了100年，這筆錢增加到131000英鎊……那時用100000英鎊來建造一所公共建築物，剩下的31000英鎊繼續生息。在第二個100年尾，這筆錢增加到4061000英鎊，其中的1061000英鎊還是由波士頓的居民支配，而其餘的3000000英鎊讓馬薩諸塞州的公眾管理。”
從這段遺囑中，我們可以看出富蘭克林為民著想的精神是非常可嘉的。不過開始隻有區區1000英鎊的贈款，就要為幾百萬英鎊安排用場，這種設想是可能的嗎？
富蘭克林的遺囑並非想當然，也不是一般地估計，而是經過精密的計算的。小朋友們，你知道怎麼計算的嗎？
寫出新式子
帕斯卡三角形是數字與幾何學相結合的最經典的例子。你能發現帕斯卡三角形的規律嗎？請你將第十五行補充完整。
帕斯卡三角形一個顯著的特點就是：它第n行（頂行作為第0行）的數字分別為（a+b）n這個式子展開之後各項的係數。比如（a+b）2=1a2+2ab+1b2（見下圖）。
請你試寫出（a+b）6展開之後的式子。
［答案：帕斯卡三角形裏的每一個數字都等於它左上角和右上角的數字之和。］
紙片遊戲
Q先生、S先生和P先生在一起做遊戲。Q先生用兩張小紙片，各寫一個數。這兩個數都是正整數，差為1。他把一張紙片貼在S先生額頭上，另一張貼在P先生額頭上。於是，兩個人隻能看見對方額頭上的數。
Q先生不斷地問：“你們誰能猜到自己頭上的數?”
S先生說：“我猜不到。”
P先生說：“我也猜不到。”
S先生又說：“我還是猜不到。”
P先生又說：“我也猜不到。”
S先生仍然猜不到；P先生也猜不到。
S先生和P先生都已經三次猜不到了。
可是，到了第四次，S先生喊起來：“我知道了！”
P先生也喊道：“我也知道了！”
問：S先生和P先生頭上各是什麼數?
［答案：第一次，S說不知道，說明P肯定不是1，P也說不知道，說明S不是2。為什麼?因為如果P是1，S馬上就知道自己是2了。他說不知道，P就知道自己肯定不是1，如果這個時候S是2的話，P就能肯定自己應該是3了。所以S不是2。
第二次，S說不知道，說明P不是3，因為前一次S說不知道，P知道自己肯定不是2，如果S是3的話，P馬上就知道自己是4了，所以S不是3，而P又說不知道，說明S不是4，因為S從P又說不知道，得知自己不是3，如果S是4，P馬上就能知道自己應該是5了，所以S也不是4。
第三次，S又說不知道，說明P不是5，因為第二次最後P說不知道，S就知道自己不是4了，如果P是5，S馬上知道自己是6，同樣，S不是6，因為P從S說不知道，得知自己不是5，如果S是6的話，P就馬上知道自己應該是7了，所以P還是不知道。最後，S說他知道了！因為他從P不知道中得知自己不是6，而他看到P頭上的號碼是7，他就知道，自己是8了。所以他知道了，而P聽到S說知道了，就判斷出S是8了，所以P馬上知道自己是7。］
不同國家人的交流
聯合國召開會議，在會議廳裏，4位代表圍桌而坐，侃侃而談。他們用了中、英、法、日4種語言。現在已知：
(1)甲、乙、丙各會兩種語言，丁隻會一種語言；
(2)有一種語言4人中有3人都會；
(3)甲會日語，丁不會日語，乙不會英語；
(4)甲與丙、丙與丁不能直接交談，乙與丙可以直接交談；
(5)沒有人既會日語，又會法語。
請問：甲、乙、丙、丁各會什麼語言？
［答案：甲會的是中文和日語；乙會的是法語和中文；丙會的就是英語和法語；丁會中文。
因為甲與丙、丙與丁不能直接交談，又因為有一種語言4人中有3人都會，那麼就應該是甲、乙、丁3人都會某一種語言。因為丁不會日語，所以日語應該不是3人都會的語言。甲會日語，但是沒有人既會日語又會法語，那麼甲不會法語，所以法語也不應該是3人都會的。乙不會英語，英語也不應該是3人都會的，那就隻能是甲、乙、丙三人都會中文。根據條件可知，甲會的是中文和日語，丁會中文。甲和丙不能直接交流，那麼丙會的就是英語和法語。乙可以和丙直接交流，乙不會英語，那乙就要應該會法語。所以，乙會的就是法語和中文。］
並非多才多藝
國王有三個女兒，她們各有一些令人注目的特點。
(1)有兩位非常聰明，有兩位十分漂亮，有兩位勤勞能幹，有兩位多才多藝；
(2)每個女兒至多隻有3個令人注目的特點；
(3)對於大女兒來說，下麵的說法是正確的：如果她非常聰明，那麼她也多才多藝；
(4)對於二女兒和小女兒來說，下麵的說法是正確的：如果她十分漂亮，那麼她也勤勞能幹；
(5)對於大女兒和小女兒來說，下麵的說法是正確的：如果她多才多藝，那麼她也勤勞能幹。
哪一位女性並非多才多藝？
提示：先判定哪幾位女性勤勞能幹。
［答案：根據(3)和(5)，如果大女兒非常聰明，那她也勤勞能幹。根據(5)，如果大女兒多才多藝，那她也勤勞能幹。根據(1)和(2)，如果大女兒既不多才多藝也不聰明，那她也是勤勞能幹。因此，無論哪一種情況，大女兒總是勤勞能幹。
根據（4），如果小女兒非常漂亮，那她也勤勞能幹。根據(5)，如果小女兒多才多藝，那她也勤勞能幹。根據(1)和(2)，如果小女兒既不多才多藝也不漂亮，那她也是勤勞能幹。因此，無論哪一種情況，小女兒總是勤勞能幹。
於是，根據(1)，二女兒並非勤勞能幹。再根據（4），二女兒並不漂亮。從而根據(1)和(2)，二女兒既聰明又多才多藝。
再根據(1)，大女兒和小女兒都非常漂亮。於是根據(2)和(3)，大女兒並不聰明。從而根據(1)，小女兒很聰明。最後，根據(1)和(2)，大女兒應該多才多藝，而小女兒則並非多才多藝。］
賺了多少錢
一個商人以50元賣出了一輛自行車，然後又花了40元買了回來，這樣顯然他賺了10元錢，因為原來的自行車又回到他的手裏，又多了10元錢。現在他把他花40元買來的自行車以45元錢又賣了出去，這樣他又賺了5元，前後加起來一共賺了15元。
但是，有一個人卻認為：這個人以一輛價值50元的自行車開始，第二次賣出以後他有了55元，也就是說他隻賺了5元錢。而50元賣一輛車是一次純粹的交換，表明不賺也不賠；隻有當他以40元買進而以45元賣出的時候，才賺了5元錢。
而另外一個人卻認為：當他以50元賣出並以40元買進時，他顯然是賺了10元錢；而當他以45元賣出時，則是純粹的交換，不賺也不賠。所以他賺了10元錢。
似乎每個人說的都有道理，那麼你認為誰才是正確的呢？
［答案：這個問題沒有準確的答案，除非知道商人買這輛自行車時用了多少錢。也就是說在不知道自行車的確切價值的時候是不能確定答案的。這3個答案分別是按照自行車的原始價格為40元、50元、45元來計算的，所以才不一樣。］
教授有幾個孩子
一天，一位數學教授去同事家做客。他們坐在窗前聊天，從庭院中傳來一大群孩子的嬉笑聲。
客人就問：您有幾個孩子？
主人：那些孩子不全是我的，那是四家人家的孩子。我的孩子最多，弟弟的其次，妹妹的再次，叔叔的孩子最少。他們吵鬧成一團，因為他們不能按每隊九人湊成兩隊。可也真巧，如果把我們這四家孩子的數目相乘，其積數正好是我們房子的門牌號，這個號碼您是知道的。
客人：讓我來試試把每一家孩子的數目算出來。不過要解這個問題，已知數據還不夠。請告訴我，你叔叔的孩子是一個呢，還是不止一個？
於是主人回答了這個問題。客人聽後，很快就準確地計算出了每家孩子的數目。你在不知道主人家門牌號碼和他叔叔家是否隻有一個孩子的情況下，能否算出這道題呢？
［答案：首先，湊不夠2個9人隊，孩子總數最多為17人。若為17人以上，則可以湊成2個9人隊或湊夠2個9人隊之後還有剩餘。因此可以確定的是叔叔家的孩子最多有2個，若有3個或者3個以上，則其他三家至少分別有6、5、4個，總數大於17人。
叔叔家孩子有2個的情況如下：
主人弟弟妹妹叔叔對應門牌號
5432120
6432144
7432168
8432192
6532180
7532210
6542240
叔叔家孩子為1個的情況時，另外3個數相加≤16(17-1=16)，且3個數各不相同，並且3個數中最小數≥2，可以列出這3個數相乘的積最大為4×5×7=140；其次為3×5×8=4×5×6=120；再次為3×4×9=108。此時已比上麵所列最小積還要小，若答案在小於108的範圍內，則不需要知道叔叔家的孩子是1人還是2人了。
所以，在知道4數積及最小數是1還是2的情況下，如果還不能得出結論，隻有門牌號為120時才有可能。
因此，確定門牌號為120了，當知道叔叔家孩子個數時就能確定4個數的情況，隻有如下一種情況：主人5個孩子，弟弟4個孩子，妹妹3個孩子，叔叔2個孩子。］
史上最難的概率題
A、B、C、D四個人說真話的概率都是1/3。假如A聲稱B否認C說D是說謊了，那麼D說的那句話是真話的概率是多少？
［答案：“A聲稱B否認C說D是說謊了”=“A聲稱B認為C說D是說真話”
這個條件可以有如下的幾種可能：
D真C真B真A真，概率1/81；
D真C假B假A真，概率4/81；
D真C假B真A假，概率4/81；
D真C真B假A假，概率4/81；
D假C假B真A真，概率4/81；
D假C真B假A真，概率4/81；
D假C真B真A假，概率4/81；
D假C假B假A假，概率16/81。
這樣，D說了真話的概率是：(1+4+4+4)/(1+4+4+4+4+4+4+16)=13/41。］
蜈蚣博弈的悖論
蜈蚣博弈是由羅森塞爾(Rosenthal)提出的。它是這樣一個博弈：兩個參與者A、B輪流進行策略選擇，可供選擇的策略有“合作”和“背叛”(“不合作”)兩種。假定A先選，然後是B，接著是A，如此交替進行。A、B之間的博弈次數為有限次，比如10次。假定這個博弈各自的支付如下：
博弈從左到右進行，橫向箭頭代表合作策略，向下的箭頭代表不合作策略。每個人下麵對應的括號代表相應的人采取不合作策略，博弈結束後，各自的收益，括號內左邊的數字代表A的收益，右邊代表B的收益。
現在的問題是：A、B會如何進行策略選擇？
［答案：如果一開始A就選擇不合作，則兩人各得1的收益，而A如果選擇合作，則輪到B選擇，B如果選擇不合作，則A收益為0，B的收益為3，如果B選擇合作，則博弈繼續進行下去。
可以看到每次合作後總收益在不斷增加，合作每繼續一次總收益增加1，如第一個括號中總收益為1＋1＝2，第二個括號為0＋3＝3，第三個括號則為2＋2＝4。這樣一直下去，直到最後兩人都得到10的收益，總體效益最大。遺憾的是這個圓滿結局很難實現！
大家注意，在最後一步由B選擇時，B選擇合作的收益為10，選擇不合作的收益為11。根據理性人假設，B將選擇不合作，而這時A的收益僅為8。A考慮到B在最後一步將選擇不合作，因此他在前一步將選擇不合作，因為這樣他的收益為9，比8高。B也考慮到了這一點，所以他也要搶先A一步采取不合作策略……如此推論下去，最後的結論是：在第一步A將選擇不合作，此時各自的收益為1，這個結論是令人悲哀的。
不難看出，這個結論是不合理的。因為一開始就停止的話，A、B均隻能獲取1，而采取合作性策略有可能均獲取10，當然A一開始采取合作性策略有可能獲得0，但1或者0與10相比實在是很小。直覺告訴我們采取“合作”策略是好的。而從邏輯的角度看，A一開始應選擇“不合作”的策略。人們在博弈中的真實行動“偏離”了博弈的理論預測，造成二者間的矛盾和不一致，這就是蜈蚣博弈的悖論。］