自然數之趣
1、2、3……這些人人熟悉而又簡單的自然數，有著許多奇妙有趣的性質。
奇妙的自然數圖中左下角是一個小正方形，由此開始，第一層虛線標出了三個小正方形，第二層虛線標出了五個小正方形……它說明了下麵一些有趣的事實：
1=1=12
1+3=4=22
1+3+5+9=32
1+3+5+7+9+11+13+15=64=82
一般地，如果n是一個自然數，則：1+3+5+……+(2n-1)=n2。
對於所有的自然數，下麵的式子也是正確的：
13=12，13+23=1+8=9=(1+2)2
13+23+33=1+8+27=(1+2+3)2
13+23+33+44=1+8+27+64=(1+2+3+4)2
……
13+22+33+……+n3=1+8十27+……+n3=(1+2+3+……+n)2
再來看6174這個數。把它的各位數字從大到小寫一遍，再從小到大寫一遍，然後相減：7641-1467=6174。結果竟與原數6174一樣。有趣的是，如果隨便取一個四位數，隻要它的四個數字不全相同，按上述方法對它處理，並重複多次，最終都將得到6174這個數。比如0923：
9320-0239=9081，
9810-0189=9621，
9621-1269=8352，
8532-2358=6174。
對隨便一個六位數按上述方法計算，會得到三種結果：(1)631764的重複；(2)549945的重複；(3)下列七個數的循環：840852，860832，862632，642654，420876，851742，750843。
對八位數也有類似的結果，最後都歸於6333176664；對十位數來說，最後都歸於6333176664；從四位數到十位數，用上述方法處理的結果，都與6174這個數有關。
1930年，意大利的杜西教授做了如下的觀察：
在一個圓周上放上任意四個數，例如：8，43，17，29，讓兩個相鄰的數相減，並且總是大的減小的，如此下去，在有限步之內必然會出現四個相等的數。科學家還證明，如果四個數中最大的是n，則在重複4n-1步時，四個差數將相同。
三位數也有奇妙的性質。
任取一個三位數，將各位數字倒著排出來，成為一個新的數，加到原數上，反複這樣做，對於大多數自然數，很快就會得到一個從左到右讀與從右到左讀完全一樣的數。比如從195開始：
自然數195+591=786
786+687=1473
1473+3741=5214
5214+4125=9339
隻用四步就得到了上述結果。這種結果稱為回文數，也稱對稱數。但是，也有通過這個辦法似乎永遠也變不成回文數的數，其中最小的數是196，它在被試驗到5萬步，達到21000位時，仍沒有得到回文數。在前10萬個自然數中，有5996個數像196這樣似乎永遠不能產生回文數，但至今沒有人能證實或否定這一猜測。於是196問題，成了世界性的難題。
專門研究數的各種性質的數學分支，叫做數論，其中有許多既有趣又困難的問題，科學家們正努力加以解決。
無理數之趣
無理數就是無限不循環小數，如2、π等等。
人們發現的第一個無理數是2。古希臘畢達哥拉斯學派是一個研究數學、科學、哲學的團體，他們認為一切數都是整數或者整數之比。有一個名叫希帕索斯的學生，在研究1和2的比例中項時(如果1∶x=x∶2，那麼x為1和2的比例中項)，左思右想都想不出這個中項值。後來他畫一邊長為1的正方形，設對角線為x，於是x2=12+12=2。他想，x代表正方形對角線長，而x2=2，那麼x必定是確定的數。x不能是整數，那麼x會不會是分數呢？畢達哥拉斯和他的學生們絞盡腦汁也找不到這個分數。
這樣，x既不是整數又不是分數，希帕索斯等人認為這必定是一個新數。這一發現導致了西方數學史上的第一次“數學危機”。而希帕索斯本人因違背了畢達哥拉斯學派的觀點，被扔到大海裏淹死了。
無理數的發現，使數的概念又擴展了一步。
無限大與無限小之趣
人們一般碰到的數，無論是實數還是複數，都有確定的量值，換句話說是有限的。這反映了我們通常碰到的事物是有限的，總可以用這些數計量。
人類在長期認識過程中，又逐漸產生兩個新的概念。最早的時候，人們將整個宇宙理解為地球，航海學的測量又測得地球半徑為6370公裏，對人們來說，那是一個非常大的數。16世紀，哥白尼的“日心說”又將宇宙擴大到以太陽為中心的太陽係，太陽係的半徑為60億公裏，約是地球半徑的94萬倍，地球與之相比隻是滄海一粟了。18世紀，人們的視野擴展到銀河係，銀河係的直徑相當於9．3312×1017公裏，這個數字更是大得驚人。隨著科學技術的發展，人們借助射電望遠鏡，又將宇宙範圍擴展到星係團、超星係團，以至總星係。這些星係的半徑都在數百萬光年(光年即光走一年的路程，約9．3312×1012公裏)以上，這個數字簡直是無法把握的。總星係之上當然還有更大的宇宙，永遠不會窮盡。這樣就出現了無限大的概念，數學上記為∞。它的含義是比任何實數都大的數，這個數當然是虛擬的，不是一個確定的數。