在微觀世界，人類的認識也從分子認識到原子，從原子認識到原子核。原子核的直徑約10厘米，原子核還可以分解為質子、中子，它們的直徑更小。這一分解過程也可以無窮盡地進行下去，這樣就帶來了無限小的概念。
無限大、無限小的含義已經涉及數的變化趨勢了，這是從定量到變量的過渡中產生的數，是微積分的基礎。
兔子問題之趣
1202年，意大利數學家斐波那契在他的《算盤書》中提出一個問題：有人想知道在一年中一對免子可以繁殖多少對，就築了牆把一對兔子放在裏麵。如果每對大兔每月生一對小兔子，而每對小兔生長一個月就成為大兔，並且所有的兔子都全部存活，那麼一年後圍牆中有多少對兔子？
假定在1月1日把一對小兔子放進圍牆，用表示一對小兔，用表示一對大兔。每對大兔經過一個月後又繁殖出新的一對小兔，一對小兔經過一個月變成一對大兔，不過還沒有生出小兔子。
兔子繁殖中的數學經過計算發現，從第三個月起，每月兔子的對數都等於前兩月的和。這個規律可以任意地遞推下去。如果把第n個月的兔子對數記為un，就得到：
un+2=un+1+un(n=1，2，3……)
而u1=u2=1
把這些數的前13個寫出來，就是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。也就是說，到下一年的1月初，圍牆裏就有了233對兔子。這就是問題的答案。
根據以上算式給出的規律，這個數列顯然可以任意多項地寫下去，我們稱它為“斐波那契數列”，其中的數就稱為“斐波那契數”。
研究這個數列有很大的意義。這個數列的通項公式：
un=151+52n-1-52n
經數學推算可發現，隨著n的增大，unun+1越來越接近於5-12。這就是說，一個所有的項都是有理數的數列，卻與5-12這樣一個無理數有密切的關係。更奇怪的是，這個數恰好就是“黃金分割”的值，在幾何學和優選法中都少不了它。
這個數列還有以下的性質：
(1)un和un+1的最大公約數是1
(n=1，2，3……)
(2)u1+u2+……+un=un+2-1
(n=1，2，3……)
(3)u2n+1=u2n+1+u2n，u2n=un(un+1+un-1)
(n=2，3，4
這個數列的性質很多。美國現在有一份專門的雜誌《斐波那契季刊》，刊登有關這個數列性質的最新發現。
生物學家也對此產生了興趣。因為他們發現，許多生物的生長也遵循斐波那契數列。如果一棵樹每年都在生長，第二年有2個分枝，通常第三年就有3個分枝，第四年有5個分枝，第五年有8個，與斐波那契數相一致。數學就是這樣以它令人驚訝的能力，揭示出自然界的許多奧秘。
百雞問題之趣
公元5世紀末，我國數學家張邱建在他著的《張邱建算經》中提出了一個著名的百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢，買雞百隻，問雞翁、母、雛各幾何？答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞雛七十八，值錢二十六。又答曰：雞翁八，值錢四十；雞母十一，值錢三十三；雞雛八十一，值錢二十七。又答：雞翁十二，值錢六十；雞母四，值錢十二；雞雛八十四，值錢二十八。”設公雞、母雞、小雞各x、y、z隻，則
5x+3y+13z=100
x+y+z=100
未知數的個數多於方程的個數，這種方程(組)叫做不定方程(組)。消去z得y=25-74x。因x、y、z代表公雞、母雞、小雞的隻數，故隻能取非負的整數，所以x必為4的倍數。設x=4t，則y=25-7t，z=75+3t(t整數）。由x，y，z大於等於0可得0小於等於t小於25/7，所以t=0，1，2，3。
對於t的4個值得對應的4組解：
x=0
y=25
z=75x=4
y=18
z=78x=8
y=11
z=81x=12
y=4
z=84
原書中的3組案是取正整數解，但是一組解也符合題意。
百羊問題之趣
百羊問題是出自中國古代算書《算法統宗》中的一道題。
這個問題說的是牧羊人趕著一群羊在河邊放牧，有人問他：“你趕來的這群羊大概有一百隻吧？”牧羊人答道：“如果這一群羊加上一倍，再加上原來這群羊的一半，又加上原來這群羊的四分之一，連你牽著的這隻肥羊也算進去，才剛好湊滿一百隻。”誰能知道這群羊一共有幾隻？
根據題意，我們可設這群羊共有x隻，則
x+x+12x+14x+1=100，解這個方程得：x=36，也就是牧羊人放牧的這群羊共有36隻。
構造方式巧解題之趣
例1已知x1、x2均為正數，求證：
1+x21+1+x222大於等於1+x1+x222。