在他關於素數的論文中，他提出了著名的黎曼猜想。素數就是除了1及本身之外就沒有其他因子的數，素數又叫質數。18世紀30年代，歐拉引進了齊打函數，黎曼把齊打函數的定義域擴大到複數域上，他要研究什麼樣的複數s，能使ζ（s）=0，他在文章裏給出了下麵著名的猜想：“所有的非實數的複數s使得ζ（s）=0，必定在直線Re（s）=12上。”
黎曼猜想提出後，許多數學家都嚐試解答，黎曼首當其衝。即使在貧困和疾病的困難麵前，他也堅持自己的研究，沒有放棄。遺憾的是在他有生之年並沒有解決這個問題。
著名的英國數學家哈地與黎曼猜想還有一個有趣的故事。哈地從不信仰宗教，也不參加宗教活動，他自認為“上帝是他的敵人”。有一年的夏末，哈地要乘船渡北海回英國，那天浪濤洶湧天氣很惡劣，哈地擔心船會出事，因此他在船開之前就寫了一張明信片寄給波爾，在上麵簡單地寫下這幾個字：“我已經證明了黎曼假設。哈地。”事實上，他並沒有證明黎曼猜想，他為什麼這樣說呢？
原來這明信片是有用意的：萬一這船沉下去，哈地溺死了，世人就會認為哈地真地解決了這個世界上的數學難題，哈地也從此享有了這個崇高的榮譽。但是，哈地覺得上帝是他的仇人，上帝一定不會讓他享有解決這個著名難題的聲譽，因此上帝會想辦法不讓船沉下去，這樣哈地就可以平安回到英國。這個明信片其實是他自製的救命護身符。哈地認為是黎曼假設救了他。他的想法雖然可笑，但也看出黎曼假設對他有著多麼深刻的影響。
一百多年過去了，這個數學難題像冰山一樣屹立在那裏，多少學者嘔心瀝血，仍然沒有攻克它。德國著名的數學家希爾伯特在老年時曾被人問一個有趣的問題：“假定你去世後一兩年能複活，您會做什麼呢？”希爾伯特回答：“我會先問黎曼猜想是否已經獲得解決了？”
20世紀七大數學難題之一的黎曼猜想，從提出到現在已經一百多年了，許多數學家為此付出了巨大的努力。雖然它仍沒有被真正攻克，然而，科學在發展，相信在不遠的將來，我們一定能聽到科學家們勝利的呐喊聲。
龐加萊猜想
龐加萊猜想是21世紀七大數學難題之一。困擾了數學家整整一個世紀的“龐加萊猜想”，最終由中國數學家徹底揭開了它的麵紗。
龐加萊出生於法國，被譽為“最後一位數學全才”。他的研究和貢獻涉及數學的各個分支，例如函數論、代數拓撲學、數論、代數學、微分方程、數學基礎、非歐幾何、漸近級數、概率論等，當代數學不少研究課題都溯源於他的工作。
20世紀初，龐加萊是在一組論文中提出這樣的猜想：“單連通的三維閉流形同胚於三維球麵。”它後來被推廣為：“任何與n維球麵同倫的n維閉流形必定同胚於n維球麵。”我們不妨借助二維的例子做一個粗淺的比喻：一個無孔的橡膠膜相當於拓撲學中的二維閉曲麵，而一個吹脹的氣球則可以視為二維球麵，二者之間的點存在著一一對應的關係，同時橡膠膜上相鄰的點仍是吹脹氣球上相鄰的點，反之亦然。有趣的是，這一猜想的高維推論已於20世紀60年代和80年代分別得到解決，唯獨三維的情況仍然像隻攔路虎一樣趴在那裏，向世界上最優秀的拓撲學家發出挑戰。任何一個封閉的三維空間，隻要它裏麵所有封閉曲線都可以收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球——這就是龐加萊猜想。
一百多年來，科學家們不斷地努力，使龐加萊猜想有了一些進展。巨大的困難沒有嚇倒他們，科學家們前仆後繼，一點一點地積累成果。20世紀80年代初，美國數學家瑟斯頓教授因為得出了對龐加萊幾何結構猜想的部分證明結果而獲得菲爾茲獎。之後，美國數學家漢密爾頓在這個猜想的證明上也取得了重要進展，作出了巨大的貢獻。新世紀伊始，俄羅斯數學家佩雷爾曼更是提出了解決這一猜想的要領。
我國數學家丘成桐把這比喻成蓋樓房，前人打基礎，後人在基礎之上繼續作業。但是最後的“封頂”工作是由中國人完成的。