出入相補原理是吳文俊院士命名的，出典於三國時魏國數學家劉徽在注《九章算術》勾股術時說的一段話：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不移動也，合成弦方之冪。”
在我國古代，人們就是利用出入相補原理去測量樹高、河寬等問題的。
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現存的算盤形狀不一、材質各異。一般的算盤多為木製（或塑料製品），由長方形木框內排列一串串等數目的算珠，中間有一道橫梁把珠分隔為上下兩部分，上半部每算珠代表5，下半部每算珠代表1。
劉徽與割圓術
劉徽是我國古代傑出的數學家，生活於魏晉時期，他提出的許多數學理論在世界數學史上占有重要的地位，割圓術就是其中之一。
我國古代從先秦時期開始，一直是取“周三徑一”（即圓周周長與直徑的比率為三比一）的數值來進行有關圓的計算；但用這個數值進行計算的結果，往往誤差很大。東漢的張衡不滿足於這個結果，他從研究圓與它的外切正方形的關係著手得到圓周率。這個數值比“周三徑一”要好些，但劉徽認為其計算出來的圓周長必然要大於實際的圓周長，也不精確，於是他提出用“割圓術”來求圓周率，從而為圓周率的計算指出了一條科學的道路。
在劉徽看來，既然用“周三徑一”計算出來的圓周長實際上是圓內接正六邊形的周長，與圓周長相差很多；那麼可以從圓內接正六邊形開始，將邊數屢次加倍。則邊數越多，內接正多邊形的麵積越接近圓的麵積。計算出內接正多邊形的麵積，就可以近似得到圓的麵積。他自己通過分割圓為192邊形，計算出圓周率在3.141024 與 3.142704之間，取其近似值，並以3.14表示。這個數值準確到兩位小數，比前人的圓周率數值都準。後來劉徽發明一種快捷算法，可以隻用96邊形得到和1536邊形同等的精確度，從而得到令他自己滿意的圓周率等於3.1416。劉徽將自己創造的“割圓術”新方法推廣到有關圓形計算的各個方麵，從而使漢代以來的數學發展大大向前推進了一步。
劉徽創造了世界數學史上最精彩的割圓術，阿基米德割圓術和劉徽割圓術一樣用雙向迫近，因而同樣嚴謹完備，但遠遠不如劉徽的簡潔；阿基米德用雙歸謬法推證圓麵積，不如劉徽用極限論先進；托勒密割圓術和阿爾·卡西割圓術隻是單向迫近，不如劉徽的嚴謹；趙友欣割圓術和日本關孝和割圓術從正方開割，屬於劉徽割圓術的變化，而且也是單向迫近。劉徽割圓術雖然不是世界最早，卻是數學史上最嚴謹完備簡潔的割圓術。
祖衝之和圓周率
在我國古代，許多數學家都致力於圓周率的計算，而公元5世紀祖衝之所取得的成就可以說是圓周率計算的一個躍進。
祖衝之，字文遠，是我國南北朝時期的數學家、天文學家，範陽郡遒縣（今河北淶源）人。祖衝之從小受到家傳科學知識的熏陶，青年時代又在學術研究的專門機構華林學省深造，一生在天文、曆法、機械、數學等方麵卓有成就。但使他彪炳千古的是對於圓周率的計算。
祖衝之認為自秦漢以至魏晉的數百年中研究圓周率成績最大的學者是劉徽，但並未達到精確的程度，於是他進一步精益鑽研，去探求更精確的數值。他研究和計算的結果，證明圓周率應該在3.1415926和3.1415927之間。於是，祖衝之成為世界上第一個把圓周率的準確數值計算到小數點以後七位數字的人。直到一千多年以後，這個記錄才被阿拉伯數學家阿爾·卡西和法國數學家維葉特所打破。祖衝之確定了圓周率的兩個漸近分數，約率22/7和密率355/113。其中的密率為355/113（≈3.1415929），西方直到16世紀才由德國人V.奧托發現。
祖衝之在圓周率方麵的研究，有著積極的現實意義，適應了當時生產實踐的需要。他親自研究過度量衡，並用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算。祖衝之的成就是建立在前人研究的基礎之上的。從當時的數學水平來看，祖衝之很可能是繼承了劉徽所創立和首先使用的割圓術，並且加以發展，因此獲得了超越前人的重大成就。
祖衝之對於圓周率的研究，是他對於我國乃至世界的一個突出貢獻，也充分反映了我國古代數學高度發展的水平。1960年，蘇聯科學家們在研究了月球背麵的照片以後，用世界上一些貢獻卓著的偉人名字，來命名那上麵的山穀，其中有一座環形山被命名為“祖衝之環形山”。
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圓有它的圓周和圓心，從圓周任意一點到圓心的距離稱為半徑，半徑加倍就是直徑，圓周是一條弧線，弧線是直徑的多少倍，在數學上叫做圓周率，即圓周率就是圓的周長與它直徑之間的比，它是一個常數，用希臘字母“?%i”來表示，為算式355/113所得。在天文曆法方麵和生產實踐當中，凡是牽涉到圓的一切問題，都要使用圓周率來推算。
算經十書
春秋戰國時期，我國已開始進入封建社會，隨著生產力不斷提高，包括數學在內的科學技術也不斷發展。到了唐代，國子監內設算學館，置博士、助教，把傳世的十部數學著作彙編在一起，作為國家最高學府的算學教科書，用以進行數學教育和考試，後世通稱為《算經十書》。
所謂《算經十書》，是指《周髀算經》《九章算術》《海島算經》《孫子算經》《張邱建算經》《五曹算經》《五經算術》《緝古算經》《數術算經》和《夏侯陽算經》共10部書。《算經十書》的構成隨著年代的不同也有所變動，比如北周時期與唐代的10部書也不完全相同，而現在說的《算經十書》的構成是指南宋時期鮑瀚之編印的《算經十書》。
《周髀算經》是10部算經中最早的一部。《九章算術》是我國的數學名著，和《周髀算經》一樣，都不是一人一時寫成的，是幾代人智慧的結晶。
《海島算經》又名《重差》，作者是晉代劉徵。它原是《九章算術注》的最後一卷，因為在這一卷裏依據兩個測望數據推算太陽高、遠的方法要用到兩個差數，所以把這種測量方法稱為“重差術”，給這一卷起名為《重差》。到了唐代選定十部算經時，把《九章算術》和《重差》分開了，由於《重差》的第一個題目是測望海島山峰，計算它的高和遠，所以又把《重差》改名為《海島算經》，全書共9個題目，都是應用重差術通過多次觀察，解決可望而不可即的高度和距離的問題。