學生為什麼在未學的情況下能算出來？盡管正確算出得數的25位學生未必都理解算理，但可以發現，如果他們理解了算理，那麼他們基本上就能正確算出算題。算理有助於學生探索算法。有算法時，不一定能說清算理；但有算理。可以轉化成算法。
又一則例子。口算整百數乘一位數400×2，學生一般的算法是：先算4×2=8。再在8的後麵添兩個0。為什麼在8後麵添兩個0，學生解釋不清楚。教學時。教師要讓學生給自己的算法找一個合理的解釋，在學生解釋的過程中引導學生理解：4個百乘2，得8個百，也就是800。由此，學生可進一步在理解算理的基礎上計算像4000×2、40000×2這樣的算題，而不停留於“照葫蘆畫瓢”式的模仿計算。
綜上所述，算理不是沒有用。而是教師在教學中是否發揮其作用。不要把算理、算法作為“兩張皮”。算理為計算提供了正確的思維方式。保證了計算的合理性和正確性，算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算的速度。算理往往是隱性的。算法往往是顯性的。它們相輔相成，算理的探討有助於學生探索算法、掌握算法。當然，在口算學習過程中，也要注意避免程式化地敘述算理，對算理的一味推崇容易讓學生陷入空洞抽象說教的泥潭，不過，對算法的過度操練也容易讓學生走向機械重複練習的窠臼。
(作者單位：南京師範大學附屬小學)
調動兒童的“心智”來口算
繆建平
口算，就是“邊心算邊口說地運算”，它是不借助計算工具(如筆、紙)，直接通過思維和語言進行計算並得出結果的一種計算方法。口算應該是“用你的腦子算”，而不隻是“在你的腦子裏算”。口算時，計算者要將計算分解成很多的小過程。要將各種信息在頭腦中進行合理的拆分、拚組等，並在短時間內得出正確結果。因此它是一種高級的“心智”活動。通過這樣的心智活動，計算者鍛煉了自己的思維，發展了注意力、記憶力(尤其是短時記憶力)，口算也為個性化、多樣化地解決問題提供了機會。那麼，如何調動兒童的“心智”來口算呢？
一、理解與記憶
就整數計算來說，其中的口算通常分為3類：①基本型——一位數加法和相應的減法、表內乘除法。這是筆算乃至所有計算的基礎，要求學生人人過關，不僅要計算正確，而且要求口算答案輸出的“自動化”，即要熟練到能脫口而出的程度。②發展型——兩位數加減整十數、兩位數加減一位數、兩位數加減兩位數和兩位數乘(除以)一位數等。前兩種口算安排在相應的筆算之前進行教學，而後幾種都是在筆算之後再教學。這類口算隻要求掌握方法、正確計算，不再有高速度的要求。這類口算不再作為“筆算的台階”。而是課程中相對獨立的部分。但教師在實際教學中明顯感覺到，如果這一類口算學生也能基本熟練，無疑更加顯示出兒童在解決問題時的優勢和自信。③靈活型——運用運算性質等進行簡便運算。在這一類口算中，計算方法的合理、靈活和簡算意識的強弱即是其數學心智水平高低的主要標誌。
在小學數學教學中，大都比較重視長時記憶，而對短時記憶的培養則比較忽視。其實短時記憶對小學生的數學能力的發展有至關重要的意義。比如口算23+19時，就需要短時記憶，如果短時記憶能力較弱。那麼在十位上的數相加時，隻算2加1的和是3，經常忘掉個位上滿十進上來的1，這在兩位數加兩位數口算訓練的早期是較為常見的現象。
有研究表明，用“工作記憶”代替“短時記憶”能夠更加準確地說明這一部分記憶係統具有動態過程的特征，而不隻是靜態的存儲。重要的是，信息在工作記憶進入意識後我們才能處理。如何避免或消除兒童口算中“工作記憶”的錯誤呢？以下3種促進學生理解的策略能有效幫助學生記憶水平的提高：
首先，“複述”策略。研究表明，工作記憶中的信息大約持續半分鍾。如果要將信息加以修正並保存更長的時間，就必須通過複述過程得到重新存儲與更新。如上麵的“兩位數加兩位數”口算，如果學生錯了，我們不妨減慢學習材料呈現的速度，並輔之以讓孩子複述其計算過程，進而讓他們自己在口述中知道“十位上要加個位上進的1”，這種個別指導就會大大增加“首因效應”。於是更為複雜的、逐漸積累式並且更加聰明的複述策略就會產生——“如果眼睛瞄到個位相加滿十了，一定要在十位上的兩個數相加時多加1：如果瞄到個位上的兩個數相加不滿十，不必考慮加1”。
其次，“表征”策略。通過多感覺表征，也將會大大提高記憶的效率。現行教材中，試圖通過許多情景圖來進行口算的教學，無疑能幫助兒童“通過解決實際問題加強運算意義的理解”。《數學課程標準》明確指出：“應重視口算，加強估算，提倡算法多樣化。”因此，教師在口算教學中既要努力做“算法多樣化”的引導者。更要做“算法優化”的促進者。
再次，“組塊”策略。有意義的組塊策略是為了克服工作記憶的“有限空間”。有關研究表明，成年人短時記憶隻能容納7項信息，兒童工作記憶容量還要小。在這種情況下，必須為兒童提供“認知支架”。比如兒童起初學習小數乘除法的口算時，經常為小數點點錯而苦惱，我們就利用“組塊”來幫助學生認清結果與兩個已知數之間的關係：12×0.4、1.2×0.4、120×0.04、0.12×0.4……4÷5、4+50、0.4÷5、0.4÷0.5……對於除數是小數的除法，還要求他們先把它轉化成除數是整數的除法寫在原式的下方，以減輕“工作記憶”的負擔。漸漸地。學生就會厘清結果與兩個已知數之間的關係及運算規律，加之“估算”能力的同步培養，他們的口算水平也一定會逐步提高。
二、結構與建構
日常的口算教學或口算訓練中，我們經常可以看到這樣的做法：教師在課堂之初，總是拿著不斷變換的卡片，不停地進行著口算訓練，以期取得“熟能生巧”的教學效果。但實際情況卻差強人意，原因何在？我們需要反思。
首先，你給學生進行口算訓練時，有沒有一個完整的知識結構呢？如20以內的加法與減法。教材中教學是分課時進行的，我們要做的首先不應該是“打亂”卡片的無序訓練。而是整齊排列的“完整呈現”，這樣的呈現還要不斷地進行，以促進學生對數與數之間加減運算關係理解的不斷深入。因為學生總是通過簡單計算逐步積累數學經驗再形成數的概念與組建認知結構的。如果教者煞費苦心地阻止一種明明無法阻止的形成記憶經驗的做法，即認為這是在進行口算的思維訓練，最終隻能是使學生多做題，增強課業負擔，走了彎路，效果卻不佳。
我們曾進行過20以內加減法的對比試驗。一種采用“打亂”卡片的訓練法，一種采用“整體呈現結構化材料”(如下表)，鼓勵學生盡可能記住結果的方法。以下是關於20以內加減法運算的知識結構表。有81對加減法關係。
在上表中，處在AC及其左上的45對數字，都是兩數相加結果等於或小於10的，好差生均能熟練掌握。不是構成口算速度差異的主要原因。構成兒童口算困難的是由AC以下的36對數組成的習題。在這之中，又以BD為界，上下各16對，隻是數字調換了位置而已，可以合二為一。BD框中是“對子數”相加的和學生容易記憶，運算也不易出錯。
經過上麵的分析，實驗班的老師在進行20以內加減法口算訓練時。隻要讓學生將ABD區打“○”中的較為生疏的9對數字關係組成的習題側重訓練，鼓勵學生自然記住運算結果。同時，對口算較慢的學生進行個別指導，他們一般都能跟上全班學生的平均速度，而學生比對比班的至少要少做近100多道訓練習題，學生負擔輕了，但效果卻尤佳。
為什麼會取得較好的效果呢？原因就是：結構化的口算訓練材料。讓兒童大腦中形成了20以內的加法口算結果的記憶經驗。這些經驗在複雜的減法口算中遷移，是造成他們比另一些兒童減法口算迅速的主要原因。而減法口算反應慢的學生的大腦中並不是完全沒有可利用的記憶經驗。他們隻是對少數幾對二十以內數的減法關係有零碎的記憶經驗或尚未形成完整結構。
三、建模與求簡
口算練習中學生在瞬間要進行各種複雜的思維活動，它要求把算題進行分解、轉換、變式、重組……從而迅速、準確地解答。口算教學的重要任務就是要在引導學生正確解答的同時，培養學生的思維能力，不斷建立新的模式結構；而建立數學模型又可以讓學生更快、更好地解決問題，從而形成良性循環。
引導學生在學習中形成認知衝突，有助於學生建模。比如。在小數除法教後，教者出示了一道7÷25的算式，讓學生筆算，當學生算完後，老師告訴學生：其實這道題，老師一看題目，馬上就能知道得數了！同學們不信，於是老師迅速報出0.28！學生一片嘩然。不行！一定是老師事先算好的。隨便一道試試！老師說：有個要求，除數一定是25，被除數一位數、兩位數都行的！於是有學生出題：9÷25，老師迅速報出0，36 1學生再出題：42÷25，老師迅速報出1.68！學生開始沉思起來，老師於是引導大家一起思考：能不能從25上麵去突破呢？漸漸地，同學們知道了：7÷25=(7×4)÷(25x4)=28÷100=0.28。另外兩道題也是同樣的道理，隻要把被除數乘4再除以100就行了，真靈！同學們不禁歡呼起來，為自己的探索成功而自豪！於是，老師又出示了一組相關的題目，學生一個個爭先恐後，口算出來了！接著，教者又將之遷移到7÷125，3÷1.25，3.1+2.5這類題目上，同學們也能嚐試著用口算進行計算了……
漸漸地，學生就能在解決問題中把它看成一個整體，直接計算，這就初步建立起了一定的模型。這些初步的模型的建立，通過不斷的完善，就可以幫助學生“從數量關係的角度更準確、清晰地認識、描述和把握現實世界”。
總之，口算技能屬於一種心智技能，心智技能具有簡縮性特征——趨向於合並、省略或簡化。因而，越是思維活動簡約的，其技能越容易形成，複雜的思維活動總是阻礙技能的形成。要想讓口算做到“用腦子去算”而不是“在腦子裏算”，就必須引導學生把“靈活運用運算法則、運算性質使計算簡便”的觀念滲透於口算學習的過程中，從而讓學生把運算具體問題的策略上升為一種自覺的簡算意識。
(作者單位：江蘇省蘇州工業園區新城花園小學)
口算題組：在訓練中“增值”
皋嶺
通過紮實的口算訓練提升口算技能是小學階段學生計算能力訓練的一項重要任務。完成這項訓練任務就必須以口算題為主要訓練載體，讓學生在大量的口算練習中掌握口算方法，提高正確率和速度。而單一二、無關聯的口算題對口算方法的遷移與優化沒有明顯的效用，為此，教者把具有關聯特征的一些口算題編成題組對學生進行訓練，在聯係、滲透以及比較中放大口算題組關聯的特征。讓口算題組在訓練中“增值”。
一、聯係——促進有效遷移
數學知識延伸發展具有前後密切聯係的特點，口算也不例外，複雜的口算都是建立在基本口算的基礎上發展而來的。因此，在新舊口算認知的聯係處進行口算題組訓練，有助於學生理解口算算理，有效獲得口算方法的遷移。
比如：在小數除法口算時出示了這樣的口算題組進行訓練。
600+200=12÷3=180÷60=8÷4=
60÷20=
1.2÷0.3=
180÷6=
8÷0.4=
6÷2=
0.12÷0.03=
18÷6=0.8÷0.4=
學生經過這樣相關聯的幾組口算練習後，對小數除法口算的算理有所感悟，方法有所理解。第一組題主要是讓學生複習和回顧商不變的規律在簡化口算中的作用；第二組題將商不變的規律擴展到小數除法的口算中進行練習：第三組題對被除數與除數變化引起商變化的規律進行複習與回顧：第四組題運用商不變的規律和商的變化規律靈活解決小數除法口算問題。雖然隻有12道口算題組成訓練題組，但所包含的聯係廣泛，從整數除法口算到小數除法口算。從商不變規律到商的變化規律，給學生留下了很大的思考空間，在口算方法和知識的前後聯係中促進了口算能力的有效遷移。
二、滲透——優化口算方法
口算也稱心算，是一種不借助計算工具，隻依靠記憶、思維和語言進行計算直接得出結果的計算方法和方式。雖然口算的結果是外顯的，但口算的思維過程即是內隱的。也正因為口算過程的內隱性，所以也就有了口算方法的多樣性。不同的口算方法帶給學生的效率不盡相同。如何讓學生的口算方法在多樣化的基礎上進行優化呢？這就需要教者精心編製口算題組讓學生不斷感悟和優化。
如：在三年級學習口算兩位數加兩位數(和不超過100)時。進行下麵題組訓練。
40+50=36+20=40+35=45+50=45+35=
46+53=36+22=44+35=45+48=45+37=
訓練中讓學生帶著問題邊思考邊口算：每組中兩道口算題哪一道相對簡單？為什麼？這道簡單的口算題對算同一組的另一道口算題有什麼啟示？不難看出，每組中的第一道相對簡單。主要是它們中不是含有整十數的加數，就是兩加數的和正好是整十數，口算時需要記憶存取的環節相對較少，口算難度也就相對降低；而每組第二道題的兩個加數都是非整十數，有的還需進位，口算的難度增加。通過這樣的題組訓練，學生從每組兩道口算題的聯係中很快獲得滲透的兩位數加兩位數的各種口算方法，讓學生在口算方法多樣化的基礎上根據加數的特征靈活地運用。
三、比較——增強辨析能力
在口算中，由於受前攝、後攝抑製或記憶表象等方麵的影響，學生經常會將一些數量、運算特征相似的口算混淆在一起，分辨不清，從而大大影響了他們口算的正確率。因此，把這些相互幹擾的口算題編製成組，對學生進行訓練，就能克服幹擾、加深印象，增強學生對易混口算的辨析能力。
如：學生經常會把一些口算中的數量位置看顛倒，或運算順序不正確。麵對這種現象。教者出示了下麵的口算題組進行對比訓練。
25×4=
15×6=80-30÷5=
5×5+5×5=
24x5=16×5=(80-30)÷5=(5×5)÷(5×5)=
再如：通過分數加減乘除的口算題組訓練。幫助學生整理分數四則運算法則之間的區別。
口算題組的比較訓練，有利於學生增強對運算法則與運算順序的理解，同時也有利於學生口算方法的建構。
(作者單位：江蘇省蘇州工業園區第二實驗小學)