10年之後，哈密頓寫成了《四元數講義》，並於1857年發表。當時著名的物理學家麥克斯韋正在研究電和磁，他苦於無法描述電磁運動及其變化規律。電和磁都是帶有方向性的量。要弄清電磁運動的規律，必須首先從數學方法上找到解決的途徑。麥克斯韋曾長期用複數向量處理，卻一直得不到正確結果。當哈密頓四元數問世後，終於使麥克斯韋走出困境，使他的電磁研究獲得了成功，並得出了“麥克斯韋方程組”，預言了電磁波的存在。
哈密頓深知四元數在科學上的重大意義。於是，在他生命的最後20多年中，一直傾注全力進行研究。他預感到，四元數的應用將在物理界引起巨大的變革。可惜的是，在這種變革沒有到來之際的1865年9月2日，他因為慢性酒精中毒而離開了人間，終年60歲。
“假結婚”走出國門的女數學家
1850年，莫斯科一位數學教師家裏誕生了一位女嬰，她就是俄國偉大的女數學家蘇菲·柯瓦列夫斯卡婭。
幸運的是，蘇菲從一降生，就生活在數學的天地裏。原來，她住的房子，牆壁上四處裱糊著她父親的數學講義。蘇菲從小就看著，讀著這些半懂不懂的講義長大。那些奇奇怪怪的數學符號給她留下了深刻的印象。伴隨年齡的增長，在家庭女教師的解答下，她漸漸弄懂了這些符號和數學公式。
14歲的時候，蘇菲不經別人幫助，就能看懂父親的朋友帶給她的數學教科書中三角公式的意義，15歲時，父親同意她利用冬季居住彼得堡期間，學習高等數學。
長成大姑娘的蘇菲十分想往完全的高等教育，可是當時俄國的大學對女子是緊閉大門的。當時，隻有西歐一些大學肯收女學生，蘇菲於是立誌要到外國去。可是，專橫的父親不同意，他不希望女兒從自己的身邊飛走。
當時，一些俄國姑娘為了離開專製的家庭，常常采用與外國人“假結婚”的辦法出國，蘇菲也如法炮製，與莫斯科大學一位外國學生協商，幫她實行“假結婚計劃”。1868年，蘇菲不顧父母的反對“結婚”了，第二年春天，她衝出國門，為了她喜愛的數學，來到了德國的海德堡。
又幾經周折，蘇菲進了德國最古老、最有名望的海德堡大學。三年期間，她修完了數學、物理、化學和生理學等大學課程。在大學裏，她最喜歡的課程是“橢圓積分論”。當她得知這一理論是著名數學家魏爾斯特拉斯建立的，就熱切地想去柏林向這位著名的教授學習。
1870年，蘇菲來到柏林，盡管她帶來了海德堡大學教授的推薦信，但柏林大學仍拒收她，唯一的理由就是“柏林大學不收女學生”。無奈，蘇菲隻好直接去找年已55歲，聲名顯赫的魏爾斯特拉斯教授。這位數學大師與蘇菲一談，深被她的求知欲所感動，便親自與學校當局疏通，但學校當局及同事們都認為，數學不是女人的事，拒絕了他的極力推薦。
善良的魏爾斯特拉斯為了不讓蘇菲失望，決定自己教她，但他要先試試蘇菲的水平，剛好他手裏有一些準備給高年級學生演算的試題，他就叫蘇菲做一做。令他吃驚的是，蘇菲不僅演算迅速、答案清晰，而且很有獨創性。從此，蘇菲便在這位名師的指導下從事數學學習和研究。
1874年，德國的數學中心哥廷根大學，根據魏爾斯特拉斯教授的推薦和蘇菲三篇高水平論文，未經口試，便授予蘇菲博士學位。她成為哥廷根大學第二個女博士。之後，魏爾斯特拉斯教授極力推薦她去大學教書，但頑固的守舊勢力始終不肯接納她，蘇菲隻好回俄國去了。
在俄國，經科學院院士切比雪夫極力舉薦蘇菲去大學教書，但仍沒有成功。後來，還是在魏爾斯特拉斯的瑞典學生幫助下，才使她有幸在斯德哥爾摩一所大學當數學講師。
1888年，法國巴黎科學院懸賞解題——“剛體繞固點旋轉的問題”，這是數學大師歐拉和拉格朗日長期感到棘手的問題。學術委員會采用密封評選的辦法，在應征的15篇論文中，選出了一篇最出色的予以獎勵，獎金5000法郎。打開選中的試卷一看，獲獎者竟是俄國女性蘇菲。
蘇菲獲此獎勵在法國學術界轟動一時，她成為第一個跨進法國科學院大門的奇女子。她在偏微分方程方麵很有建樹。在此期間，她完成了法國大數學家柯西的一項研究，偏微分方程理論的一個重要基本定理“柯西——柯瓦列夫斯卡婭定理”，就是以柯西和蘇菲二人的名字命名的。
蘇菲獲獎的第二年，斯德哥爾摩學院授予她一筆高額獎金，又正式任命她為大學教授。可是，守舊勢力是頑固的。瑞典的著名作家特林倍格就此撰文說：“女人擔任數學教授是奇怪的、有害的、難堪的現象。”但蘇菲卻以她出色的教學成績，贏得了學生們的愛戴和尊敬。僅用一年時間，她就能用流暢的瑞典語講課了。最終，瑞典人信服了她。
1891年，曆經坎坷的蘇菲在瑞典逝世，年僅41歲，人們把她安葬在斯德哥爾摩，表示對她永久景仰。
蘇菲死後，她的大腦按北歐人的特殊習慣，進行了解剖研究，據說4年後，醫生把她的大腦與德國大物理學家赫爾霍茲的腦量比較，發現她的大腦在比例上大於一般男人。
第一個算出地球周長的人
2000多年前，有人用簡單的測量工具計算出地球的周長。這個人就是古希臘的埃拉托色尼(約公元前275～前194年)。
埃拉托色尼博學多才，他不僅通曉天文，而且熟知地理；又是詩人、曆史學家、語言學家、哲學家，曾擔任過亞曆山大博物館的館長。
細心的埃拉托色尼發現：離亞曆山大城約800千米的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的陽光可以一直照到井底，因為這時候所有地麵上的直立物都應該沒有影子。但是，亞曆山大城地麵上的直立物卻有一段很短的影子。他認為：直立物的影子是由亞曆山大城的陽光與直立物形成的夾角所造成。從地球是圓球和陽光直線傳播這兩個前提出發，從假想的地心向塞恩城和亞曆山大城引兩條直線，其中的夾角應等於亞曆山大城的陽光與直立和形成的夾角。按照相似三角形的比例關係，已知兩地之間的距離，便能測出地球的圓周長。埃拉托色尼測出夾角約為7度，地球的周長大約為4萬千米，這是實際地球周長(360度)的五十分之一，由此推算地球的周長大約為4萬千米，這與實際地球周長(40076千米)相差無幾。還計算出太陽與地球間的距離為147億千米，和實際距離149億千米也驚人地相近。這充分反映了埃拉托色尼的嚐試說和智慧。
埃拉托色尼是首先使用“地理學”名稱的人，從此代替傳統的“地方誌”，寫成了三卷專著。書中描述了地球的形狀、大小和海陸分布。埃拉托色尼還用經緯網繪製地圖，最早把物理學的原理與數學方法相結合，創立了數理地理學。
康托爾的數學成就
伽利略曾作過這樣的證明：DE是△ABC的中位線，DE=12BC，通過A引任意一條直線，必然有DE上的P′和BC上P一一對應，因此，DE所包含的點與BC所含的點“一樣多”，導致結論：DE=BC，1=2。這是一個數學悖論。
由於研究無窮時往往推出一些合乎邏輯的但又荒謬的結果(稱為“悖論”)，許多大數學家唯恐陷進去而采取退避三舍的態度。1874～1876年期間，不到30歲的年輕德國數學家康托爾(1845～1918年)向神秘的無窮宣戰。他靠著辛勤的汗水，成功地證明了一條直線上的點能夠和一個平麵上的一點一一對應，也能和空間中的點一一對應。這樣看起來，1厘米長的線段內的點與太平洋麵上的點，以及整個地球內部的點都“一樣多”!後來幾年，康托爾對這類“無窮集合”問題發表了一係列文章，通過嚴格證明得出了許多驚人的結論。
康托爾的創造性工作與傳統的數學觀念發生了尖銳衝突，遭到一些人的反對、攻擊甚至謾罵。有人說，康托爾的集合論是一種“疾病”，康托爾的概念是“霧中之霧”，甚至說康托爾是“瘋子”。來自數學權威們的巨大精神壓力終於摧垮了康托爾，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送進精神病醫院。
真金不怕火煉，康托爾的思想終於大放光彩。1897年舉行第一次國際數學家會議上，他的成就得到承認。偉大的哲學家、數學家羅素稱讚康托爾的工作“可能是這個時代所能誇耀的最巨大的工作”。可是這時康托爾仍然神誌恍惚，不能從人們的崇敬中得到安慰和喜悅。1918年1月6日，康托爾在一家精神病院去世。
康托爾生於俄國彼得堡一個丹麥猶太血統的富商家庭，10歲隨家遷居德國，自幼對數學有濃厚興趣。23歲獲博士學位，以後一直從事數學教學研究。他所創立的集合論已被公認為全部數學的基礎。