業餘數學家之王費馬
17世紀的一位法國數學家，提出了一個數學難題，使得後來的數學家一籌莫展，這個人就是費馬(1601～1665年)。
這道題是這樣的：當n＞2時，xn+yz=zn沒有正整數解。在數學上這稱為“費馬大定理”。為了獲得它的一個肯定的或者否定的證明，曆史上幾次懸賞征求答案，一代又一代最優秀的數學家都曾研究過，但是300多年過去了，至今既未獲得最終證明，也未被推翻。即使用現代的電子計算機也隻能證明：當n≤4100萬時，費馬大定理是正確的。由於當時費馬聲稱他已解決了這個問題，但是沒有公布結果，於是留下了數學難題中少有的千古之謎。
費馬生於法國南部，在大學裏學的是法律，以後以律師為職業，並被推舉為議員。費馬的業餘時間全用來讀書，哲學、文學、曆史、法律樣樣都讀。30歲時迷戀上數學，直到他64歲病逝，一生中有許多偉大的發現。不過，他極少公開發表論文、著作，主要是通過與友人通信透露他的思想。在他死後，由兒子通過整理他的筆記和批注挖掘他的思想。好在費馬有個“不動筆墨不讀書”的習慣，凡是他讀過的書，都有他的圈圈點點，勾勾畫畫，頁邊還有他的評論。他利用公務之餘鑽研數學，並且成果累累。後世數學家從他的諸多猜想和大膽創造中受益匪淺，讚譽他為“業餘數學家之王”。
費馬對數學的貢獻包括：與笛卡爾共同創立了解析幾何；創造了作曲線切線的方法，被微積分發明人之一牛頓奉為微積分的思想先驅；通過提出有價值的猜想，指明了關於整數的理論——數論的發展方向。他還研究了擲骰子賭博的輸贏規律，從而成為古典概率論的奠基人之一。
全能數學家彭加勒
一位數學史權威評價彭加勒(1854～1912年)時說，他是“對於數學和它的應用具有全麵知識人的最後一個人。”20世紀以來，數學進入了多學科、高難度的現代階段，要想達到每個領域的最高成就已經不可能，但彭加勒確實是他那個時代的數學全才。
一般把數學劃分為算術、代數、幾何和分析四個領域，彭加勒對各個領域的研究成果，都是第一流的。他成功地解決了像太陽、地球、月亮間相互運動這一類的三體問題；他是現代物理的兩大支住——相對論和量子力學的思想先驅；他研究科學哲學提出的“約定論”著重分析了人類理性認識的基本法則，日益受到當代哲學家的重視。在他從事科學研究的34年裏，發表論文500篇，著作30多部，獲得過法國、英國、俄國、瑞典、匈牙利等國家的獎賞，被聘為30多個國家的科學院院士。
1912年6月26日，彭加勒病逝前20天作了最後一次講演，他說：“人生就是持續鬥爭。”彭加勒的一生就是鬥爭的一生。他因為小時候得過病，語言不夠流暢，寫字畫圖都有困難；還留下了喉頭麻痹身體虛弱的後遺症。不少人把他當做笨人。他成為數學家後，一位心理學家通過測驗仍然認定他是“笨人”。彭加勒取得成就的關鍵是注意力高度集中。他一生最大的嗜好就是讀書，讀書速度快，記憶準確持久。因為視力不好，書寫困難，他上課不記筆記，全神貫注於聽講、思索、理解，長期地磨煉，使他具備了運用大腦完成複雜運算，構思長篇論文的能力。1871年，17歲的彭加勒報考高等工業學校，輕鬆地解決了主考官特意為他設計的難題，盡管他的幾何作圖得了零分，學校也破格錄取。1879年，25歲的彭加勒獲數學博士學位，32歲任數學和物理學教授，以後在科學園地裏辛勤耕耘26年。
非歐幾何創始人之一
羅巴切夫斯基(1792-1856年)，俄國數學家，非歐幾何的創始人之一。生於諾夫哥羅得即現在高爾基城。10歲進入中學，15歲進喀山大學，19歲獲碩士學位，24歲任喀山大學數學教授。1826年2月6日羅巴切夫斯基在喀山大學提出了用法文寫的論文《幾何學原理簡述及平行線定理的嚴格證明》。人們把這一天公認為是新幾何的誕生日。1827年7月30日被選為喀山大學校長，一直連任到1846年。1829年《喀山通報》第一次登載了他的幾何論述“關於幾何學原理”。他的主要功績是改變了歐幾裏得幾何中的平行公理(即第五公設)，提出了一種新的幾何學，稱為“雙曲幾何學”或羅巴切夫斯基幾何學。但是它和傳統的歐氏幾何發生了矛盾，所以最初發表時不能被人理解，甚至被認為是荒謬的，因而在他生前這種幾何思想未被人們重視。1856年2月24日羅巴切夫斯基逝世，1893年在他誕生100周年之際，為了紀念他在數學史上的傑出貢獻，喀山大學樹起了他的紀念像。1896年9月1日又在喀山大學對麵樹起了羅巴切夫斯基的紀念碑，將他的名字載入世界數學的光輝史冊。
沈括和他的隙積術
沈括(公元1031～1095年)是我國古代卓越的科學家，他出生於錢塘(杭州)。有一天，他和朋友在一家酒店喝酒時，看到院子裏整整齊齊放著一堆酒壇。
“你猜，這堆酒壇有多少個?”朋友好奇地問，“一共有122個。”沈括沉思了一會兒回答。
後來，他的朋友把這堆酒壇搬開來，一個一個點了一下，果然一個不多，一個不少，恰好是122個，猜得真準呀!
原來他是計算出來的，因為酒壇疊得很有規律：每一層都排成長方形，而且下一層比上一層長、寬各增加一個，這堆酒壇有4層，他數得最上麵一層長為5個，寬為3個，以下每層依次為6×4個，7×5個，8×6個，合計
5×3+6×4+7×5+8×6=122(個)。
一般地，假定共有n層，最上麵一層為ab個，則以下每層依次為(a+1)(b+1)個，(a+2)(b+2)個，……［a+(n-1)］［b+(n-1)］個。所以這堆酒壇的總數為
S=ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+…+［a+(n-1)］［b+(n-1)］。
下麵我們來進行推導：
ab=ab，
(a+1)(b+1)=ab+1×(a+b)+12，
(a+2)(b+2)=ab+2×(a+b)+22，
……
［a+(n-1)］［b+(n-1)］=ab+(n-1)(a+b)+(n-1)2，
∴S=nab+A(a+b)+B。
其中，A=1+2+…+(n-1)=n(n-1)2，
B=12+22+…+(n-1)2=n(n-1)(2n-1)6。
∴S=nab+n(n-1)2(a+b)+n(n-1)(2n-1)6
=n6［6ab+3(n-1)(a+b)+(n-1)(2n-1)］。
沈括認為通常求體積的各種公式，作為計算對象的形體都是實心的，但他的問題卻是形體中間有空隙，因此就把這個方法稱為隙積術了，不過，當時沈括把最上麵一層的長和寬的個數分別記作a和b，最底下一層的長和寬的個數分別記作c和d，共n層，因此他得到的公式是
S=n6［(2b+d)a+(b+2d)c］+n6+(c-a)
我國古代一次方程組的研究
大家知道，我國古代在數學方麵有許多傑出的成就，僅以代數中的一次方程組來說，早在兩千多年以前，我國最古老的數學經典著作《九章算術》中，就對它有過記載。在公元263年，三國時魏國劉徽編輯的《九章算術》中的第八章就是方程章，共有18個問題，全都是一次方程組的問題，其中二元的問題有8個，三元的問題有6個，四元的問題有2個，五元的問題有1個，屬於不定方程(六個未知數五個方程)的1個。《九章算術》中所用的作法稱為“方程術”。例如“方程章”中第7個問題：“今有牛五羊二值金十兩，牛二羊三值八兩，問牛羊各值幾何。”
設牛羊各值金x、y兩，這個問題相當於求下麵方程組的解：
5x+2y=10，2x+5y=8，解得x=3421，y=2021。
在數學史中，大多數人認為是法國數學家別朱(1730～1783)在公元18世紀最早提出一次方程組的解法，而我國最在2000多年前的《九章算術》中就已經掌握了係統的一次方程組的解法，比歐洲至少要早1500年。由此可以看出，我國古代關於一次方程組的解法研究遙遙領先，它是我國古代數學最傑出的創造之一。