第二章趣味數學故事4(3 / 3)

數學奧林匹克

數學競賽與體育比賽在精神上有許多相通之處,因此國際上把數學競賽叫做數學奧林匹克。最早的數學競賽是匈牙利於1894年舉辦的,從此以後,許多國家爭相仿效舉辦了全國性的數學競賽。1902年,羅馬尼亞首次舉辦數學競賽;1934年,前蘇聯首次舉辦“數學奧林匹克”。以後保加利亞於1949年,波蘭於1950年,捷克斯洛伐克於1951年,南斯拉夫、荷蘭於1962年,蒙古人民共和國於1963年,英國於1965年,加拿大、希臘於1969年,西德、奧地利於1970年,美國於1972年……也都舉辦了數學競賽。

1956年,著名的數學家華羅庚教授等倡導的高中數學競賽,先後在北京、天津、上海和武漢四大城市舉行,從而揭開了我國數學競賽的序幕。

國際性的數學競賽活動,是從1959年開始的。這一年,羅馬尼亞數學學會首先發出倡議,在布加勒斯特舉行了第一屆“國際數學奧林匹克”,得到了東歐七國的積極響應。此後,世界上每年舉行一次國際性的數學競賽活動。1985年,我國首次派代表參加了第26屆國際數學奧林匹克。

常用數學符號的創造

人們會計算加法、減法、乘法和除法已經有好幾千年的曆史了。但是使用+、-、×、÷等數學符號卻是近幾百年的事。那麼,這些符號是由誰創造出來的呢?

加、減號(+、-),是15世紀德國數學家魏德曼首創的。他在橫線上加一豎,表示增加、合並的意思;在加號上去掉一豎表示減少、拿去的意思。

乘號(×),是17世紀英國數學家歐德萊最先使用的。因為乘法與加法有一定的聯係,所以他把加號斜著寫表示相乘。後來,德國數學家萊布尼茲認為“×”易與字母“X”混淆,主張用“·”號,至今“×”與“·”並用。

除號(÷),是17世紀瑞士數學家雷恩首先使用的。他用一道橫線把兩個圓點分開,表示分解的意思。後來萊布尼茲主張用“:”作除號,與當時流行的比號一致。現在有些國家的除號和比號都用“:”表示。

等號(=),是16世紀英國學者列科爾德創造的,他用兩條平行而又相等的直線來表示兩數相等。

中括號([])和大括號({}),是16世紀英國數學家魏治德創造的。

大於號(>)和小於號(<),是17世紀的數學家哈裏奧特創立的。

這些數學符號既簡單,又方便。使用它們,是數學上的一大進步。

送給外星人看

幾何學裏有一個非常重要的定理,在我國叫勾股定理,在國外叫畢達哥拉斯定理,相傳畢達哥拉斯發現這個定理後欣喜欲狂,宰了100頭牛大肆慶賀了許多天,因此這個定理也叫百牛定理。

勾股定理的大意是:任意畫一個直角三角形,它的兩條直角邊的平方和,一定會等於斜邊的平方。這個定理精確地刻畫了直角三角形3條邊之間的數量關係,以它為基礎,還可以推導出不少重要的數學結論來。

勾股定理不僅是最古老的數學定理之一,也是數學中證法最多的一個定理。幾千年來,人們已經發現了400多種不同的證明方法,足以編成厚厚的一本書。實際上,國外確實有一本這樣的書,書中收集有370多種不同的證法。在為數眾多的證題者中,不僅有著名的數學家,也有許多數學愛好者。美國第20任總統伽菲爾德,就曾發現過一種巧妙的證法。

伽菲爾德的證法很有趣。他首先畫兩個同樣大小的直角三角形,然後設法組成一個梯形。根據梯形麵積的計算公式,整個圖形的麵積為

S=a+b2(a+b)

=12(a2+b2+2ab)。

另一方麵,根據三角形麵積計算公式,整個圖形的麵積為

S=12ab+12ab+12c2=12(2ab+c2)。

即a2+b2=c2。

據說,世界上最先證明勾股定理的人,是古希臘數學家畢達哥拉斯,但誰也未見過他的證法。目前所能見到的最早的一種證法,屬於古希臘數學家歐幾裏得,他的證法采用演繹推理的形式,記載在世界上數學名著《幾何原本》裏。

在我國,最先明確地證明勾股定理的人,是三國時期的數學家趙爽。

趙爽的證法很有特色。首先,他作4個同樣大小的直角三角形,將它們拚成設定的形狀,然後再著手計算整個圖形的麵積。顯然,整個圖形是一個正方形,它的邊長是C,麵積為C2。另一方麵,整個圖形又可以看做是4個三角形與1個小正方形麵積的和。4個三角形的總麵積是2ab,中間那個小正方形的麵積是(b-a)2,它們的和是2ab+(b-a)2=a2+b2。比較這兩種方法算出的結果,就有,

a2+b2=c2。

趙爽的證法鮮明地體現了我國古代證題術的特色。這就是先對圖形進行移、合、拚、補,然後再通過代數運算得出幾何問題的證明。這種方法融幾何代數於一體,不僅嚴謹,而且直觀,顯示出與古代西方數學完全不同的風格。

比趙爽稍晚幾年,我國數學家劉徽發明了一種更巧妙的證法。在劉徽的證法裏,已經用不著進行代數運算了。

劉徽想:直角三角形3條邊的平方,可以看作3個不全相等的正方形,這樣,要證明勾股定理,就可以理解為要證明:兩條直角邊上的正方形麵積之和,等於斜邊上正方形的麵積。

於是,劉徽首先作出兩條直角邊上的正方形,他把由一條直角邊形成的正方形叫做“朱方”,把由另一條直角邊形成的正方形叫做“青方”,然後把圖中標注有“出”的那部分圖形,移到標注有“入”的那些位置,就拚成了圖中斜置的那個正方形。劉徽把斜置的那個正方形叫做“弦方”,它正好是由直角三角形斜邊形成的一個正方形。

經過這樣一番移、合、拚、補,自然而然地得出結論:

朱方十青方=弦方。

即a2+b2=c2。

“青朱出入圖”,這是一幅多麼神奇的圖啊!甚至不用去標注任何文字,隻要相應地塗上朱、青兩種顏色,也能把蘊含於勾股定理中的數學真理,清晰地展示在世人麵前。

我國著名數學家華羅庚認為,無論是在哪個星球上,數學都是一切有智慧生物的共同語言。如果人類要與其他星球上的高級生物交流信息,最好是送去幾個數學圖形。其中,華羅庚特別推薦了這幅“青朱出入圖”。

我們深信,如果外星人真的見到了這幅圖,一定很快就會明白:地球上生活著具有高度智慧和文明的友鄰,那裏的人們不僅懂得“數形關係”,而且還善於幾何證明。

蜜蜂的智慧

蜜蜂的勤勞是最受人們讚賞的。有人做過計算,一隻蜜蜂要釀造1千克的蜜,就得去100萬朵花上采集原料。如果花叢離蜂房的平均距離是15千米,那麼,每采1千克蜜,蜜蜂就得飛上45萬千米,幾乎等於繞地球赤道飛行了11圈。

其實,蜜蜂不僅勤勞,也極有智慧。它們在建造蜂房時顯示出驚人的數學才華,連人間的許多建築師也感到慚愧呢!

著名生物學家達爾文甚至說:“如果一個人看到蜂房而不倍加讚揚,那他一定是個糊塗蟲。”

蜂房是蜜蜂盛裝蜂蜜的庫房。它由許許多多個正六棱柱狀的蜂巢組成,蜂巢一個挨著一個,緊密地排列著,中間沒有一點空隙。早在2200多年前,一位叫巴普士的古希臘數學家,就對蜂房精巧奇妙的結構作了細致的觀察與研究。

巴普士在他的著作《數學彙編》中寫道:蜂房裏到處是等邊等角的正多邊形圖案,非常勻稱規則。在數學上,如果用正多邊形去鋪滿整個平麵,這樣的正多邊形隻可能有3種,即正三角形、正方形、正六邊形。蜜蜂憑著它本能的智慧,選擇了角數最多的正六邊形。這樣,它們就可以用同樣多的原材料,使蜂房具有最大的容積,從而貯藏更多的蜂蜜。

也就是說,蜂房不僅精巧奇妙,而且十分符合需要,是一種最經濟的結構。

曆史上,蜜蜂的智慧引起了眾多科學家的注意。著名天文學家開普勒曾經指出:這種充滿空間的對稱蜂房的角,應該和菱形12麵體的角一樣。法國天文學家馬拉爾弟則親自動手測量了許多蜂房,他發現:每個正六邊形蜂巢的底,都是由3個全等的菱形拚成的,而且,每個菱形的鈍角都等於109°28′,銳角應該是70°32′。

18世紀初,法國自然哲學家列奧繆拉猜測:用這樣的角度建造起來的蜂房,一定是相同容積中最省材料的。為了證實這個猜測,他請教了巴黎科學院院士、瑞士數學家克尼格。

這樣的問題在數學上叫極值問題。克尼格用高等數學的方法做了大量計算,最後得出結論說,建造相同容積中最省材料的蜂房,每個菱形的鈍角應該是109°26′,銳角都等於70°34′。

這個結論與蜂房的實際數值僅2′之差。

圓周有360°,而每1°又有60′。2′的誤差是很小的。人們寬宏大量地想:小蜜蜂能夠做到這一步已經很不錯了,至於2′的小小誤差嘛,完全可以諒解。

可是事情並沒有完結。1743年,著名數學家馬克勞林重新研究了蜂房的形狀,得出一個令人震驚的結論:要建造最經濟的蜂房,每個菱形的鈍角應該是109°28′16″,銳角應該是70°31′44″。

這個結論與蜂房的實際數值吻合。原來,不是蜜蜂錯了,而是數學家克尼格算錯了!

數學家怎麼會算錯了呢?後來發現,當年克尼格計算用的對數表印錯了。

小小的蜜蜂可真不簡單,數學家到18世紀中葉才能計算出來、予以證實的問題,它在人類有史之前已經應用到蜂房上去了。