第二章趣味數學故事5
神奇的幻方
相傳在大禹治水的年代裏，陝西的洛水常常大肆泛濫。洪水衝毀房舍，吞沒田園，給兩岸人民帶來巨大的災難。於是，每當洪水泛濫的季節來臨之前，人們都抬著豬羊去河邊祭河神。每一次，等人們擺好祭品，河中就會爬出一隻大烏龜來，慢吞吞地繞著祭品轉一圈。大烏龜走後，河水又照樣泛濫起來。
後來，人們開始留心觀察這隻大烏龜。發現烏龜殼有9大塊，橫著數是3行，豎著數是3列，每一塊烏龜殼上都有幾個小點點，正好湊成從1到9的數字。可是，誰也弄不懂這些小點點究竟是什麼意思。
有一年，這隻大烏龜又爬上岸來，忽然，一個看熱鬧的小孩驚奇地叫了起來：“多有趣啊，這些小點點不論是橫著加，豎著加，還是斜著加，算出的結果都是15！”人們想，河神大概是每樣祭品都要15份吧，趕緊抬來15頭豬和15頭牛獻給河神……果然，河水從此再也不泛濫了。
這個神奇的故事在我國流傳極廣，甚至寫進許多古代數學家的著作裏。烏龜殼上的這些點點，後來被稱作是“洛書”。一些人把它吹得神乎其神，說它揭示了數學的奧秘，甚至胡說因為有了“洛書”，才開始出現了數學。
撇開這些迷信色彩不談，“洛書”確實有它迷人的地方。普普通通的9個自然數，經過一番巧妙的排列，就把它們每3個數相加和是15的8個算式，全都包含在一個圖案之中，真是令人不可思議。
在數學上，像這樣一些具有奇妙性質的圖案叫做“幻方”。“洛書”有3行3列，所以叫3階幻方。它也是世界上最古老的一個幻方。
構造3階幻方有一個很簡單的方法。首先，把前9個自然數按規定的樣子擺好。接下來，隻要把方框外邊的4個數分別寫進它對麵的空格裏就行了。根據同樣的方法，還可以造出一個5階幻方來，但卻造不出一個4階幻方。實際上，構造幻方並沒有一個統一的方法，主要依靠人的靈巧智慧，正因為此，幻方贏得了無數人的喜愛。
曆史上，最先把幻方當作數學問題來研究的人，是我國宋朝的著名數學家楊輝。他深入探索各類幻方的奧秘，總結出一些構造幻方的簡單法則，還動手構造了許多極為有趣的幻方。被楊輝稱為“攢九圖”的幻方，就是他用前33個自然數構造而成的。
攢九圖有哪些奇妙的性質呢？請動手算算：每個圓圈上的數加起來都等於多少？而每條直徑上數加起來，又都等於多少？
幻方不僅吸引了許多數學家，也吸引了許許多多的數學愛好者。我國清朝有位叫張潮的學者，本來不是搞數學的，卻被幻方弄得“神魂顛倒”。後來，他構造出了一批非常別致的幻方。“龜文聚六圖”，就是張潮的傑作之一。圖中的24個數起到了40個數的作用，使各個6邊形中諸數之和都等於75。
大約在15世紀初，幻方輾轉流傳到了歐洲各國，它的變幻莫測，它的高深奇妙，很快就使成千上萬的歐洲人如癡如狂。包括歐拉在內的許多著名數學家，也對幻方產生了濃鬱的興趣。
歐拉曾想出一個奇妙的幻方。它由前64個自然數組成，每列或每行的和都是260，而半列或半行的和又都等於130。最有趣的是，這個幻方的行列數正好與國際象棋棋盤相同，按照馬走“日”字的規定，根據這個幻方裏數的排列順序，馬就可以不重複地跳遍整個棋盤！所以，這個幻方又叫“馬步幻方”。
近百年來，幻方的形式越來越稀奇古怪，性質也越來越光怪陸離。現在，許多人都認為，最有趣的幻方屬於“雙料幻方”。它的奧秘和規律，數學家至今尚未完全弄清楚呢。
8階幻方就是一個雙料幻方。
為什麼叫做雙料幻方？因為，它的每一行、每一列以及每條對角線上8個數的和，都等於同一個常數840；而這樣8個數的積呢，又都等於另一個常數2058068231856000。
有個叫阿當斯的英國人，為了找到一種稀奇古怪的幻方，竟毫不吝嗇地獻出了畢生的精力。
1910年，當阿當斯還是一個小夥子時，就開始整天擺弄前19個自然數，試圖把它們擺成一個六角幻方。在以後的47年裏，阿當斯食不香，寢不安，一有空就把這19個數擺來擺去，然而，經曆了成千上萬次的失敗，始終也沒有找出一種合適的擺法。1957年的一天，正在病中的阿當斯閑得無聊，在一張小紙條上寫寫畫畫，沒想到竟畫出一個六角幻方。不料樂極生悲，阿當斯不久就把這個小紙條搞丟了。後來，他又經過5年的艱苦探索，才重新找到那個丟失了的六角幻方。
六角幻方得到了幻方專家的高度讚賞，被譽為數學寶庫中的“稀世珍寶”。馬丁博士是一位大名鼎鼎的美國幻方專家，畢生從事幻方研究，光4階幻方他就熟悉880種不同的排法，可他見到六角幻方後，也感到是大開眼界。
測太陽高度
古人很早就知道，用小小直角尺（矩）可以量出相當高的高度。他們把角尺直立在水平位置上，對準要測量的物體，使物體的最高點與角尺兩邊上的兩點成一直線，利用相似直角三角形對應邊成比例的性質，就可以把物體的高度算出來了。這裏的條件是：直尺的直角點到物體垂直於水平麵的線的距離是能夠用尺直接測量出來。
兩千多年以前，漢代的天文學家又把這種方法推廣到計算太陽的高度，這是古代一個十分有趣的天文問題，也是一個很有意義的數學問題。我們現在知道，太陽與地球是宇宙中兩個橢圓形的天體，它們之間的平均距離有14960萬千米。可是古代的人想知道太陽的高度有多少，他們又是怎樣去測量的呢？
原來，那時有的天文學家，認為天是圓的（指球形），地是方的。地球是一望無際的平地，掛在天空中的太陽，盡管一年四季千變萬化，但在特定的時間和地點，它的高度是可以測量計算的。於是，這些天文學家用一根八尺長的標杆（p），選定夏至這一天，在南北相隔一千裏的兩個地方，（A，B），分別測出太陽的影子長度（m，n）。設太陽離地麵的高度為h＋p，A點到太陽在地麵的垂足的距離為d，根據相似直角形對應邊成正比例的性質，得
hp＝dm(1)hp＝d＋ABn(2)
解方程組得
h＝p×ABn－m(3)
漢代的天文學家認為，北麵B點的影子n與南麵A點的影長m恰恰相差1寸。因此，n－m＝1寸，p＝8尺，AB＝1000裏，代入(3)式得
h＝8尺×1000千米01尺＝80000裏
將80000裏再加上標杆的長度8尺，便是太陽離地麵的高度（當然，這個結論是不符合實際的）。從（3）式中我們知道，h的高度等於北麵影子與杆竿長之比減去南麵影子與標杆長之比去除南北兩點間的距離。同樣，用這兩個比值的差除以南麵影長，便得到A點到太陽在地麵的垂足的距離。因此，南北兩點的距離確定以後，太陽離地麵的高度主要決定於標杆影長與標杆長的兩個比值之差。但是，因為他們假設地麵是平的，不符合實際情況，因而得出錯誤的結果。然而，我國古代這種數學方法是正確的，漢代天文學家把這種計算方法稱為“重差術”。公元第三世紀大數學家劉徽，係統地總結了這種辦法，寫成專門的一章，也是叫做“重差”，附在古代數學名著《九章算術》之後。唐代初年，國子監整理出版古代數學著作時，把這一章作為《算經十書》之一，單獨發行。因為它第一個問題是測出一個海島的高度和距離，所以又把它稱為《海島算經》，這本書一直流傳到現在。
數學與《紅樓夢》
《紅樓夢》是我國的四大古典文學名著之一，在國外也很出名。按照紅學家們的說法，這部巨著的前80回的作者是曹雪芹，後40回的作者則是高鶚。這種意見對不對？數學家們用自己的方法對此作出了判斷。
用數學方法判斷一部文學作品的作者，國外早有先例，如《靜靜的頓河》一書是不是前蘇聯作家肖洛霍夫所寫，這個問題曾經引起了很大的爭論，最後還是數理語言學中的統計方法幫上了忙，確立了肖洛霍夫的作者地位。
我們知道，每個人寫作的風格都有所不同，古人也不例外。有的也許喜歡用“之”“乎”，有的或許更喜歡用“者”“也”。根據常用字在文中出現的次數多少（稱為頻率），就可以看出風格上的差別，這樣一來，誰是作者便不言自明了。
根據這樣的道理，我國學者李賢平運用47個虛字在《紅樓夢》的每一回中出現的頻率，通過計算距離等各種統計方法，探索了這部書各回寫作風格的接近程度，結果發現，紅學家們的說法是正確的。紅學家們的說法第一次用數學方法得到了證明和補充。
這一成果以“紅樓夢成書新說”為題刊載於1987年《複旦學報》社科版第3期上，是中國文學史上用數學方法研究文學最成功且最轟動的一次。
墓碑上的數學
丟番圖是古代希臘著名的數學家，關於他的年齡在任何書上都沒有明確的記載，可是，在他的墓碑上卻刻下了關於他的生平資料。如果依據墓碑上提供的生平資料，用數學方法去解答，就能算出數學家丟番圖的年齡，這就是人們所說的“墓碑上的數學”。
丟番圖的墓碑上到底刻了些什麼呢?
“過路人，丟番圖長眠在此。倘若你懂得碑文的奧秘，它就會告訴你丟番圖一生壽命究竟有多長。
“他的生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，他度過了愉快的青年時代；後來丟番圖結了婚，這樣又度過了一生的七分之一；再過五年，他得了第一個兒子，感到很幸福，可是命運給這個孩子在世界上的光輝燦爛的生命隻有他父親壽命的一半；自從兒子死了以後，他努力在數學研究中尋求慰藉，又過了四年，終於結束了塵世的生涯。”
現在讓我們從碑文中去尋求解答問題的各種數量關係。
先用方程解。我們假設丟番圖的年齡是x歲；他的生命的六分之一是童年，童年便是x6；再活了他生命的十二分之一，就是再活了x12；他結婚又度過了一生的七分之一，便是x7；再過五年生了兒子，兒子的生命是父親壽命的一半，那就是x2；兒子死後的四年，他結束了一生。
根據以上分析可以列出方程：
x=x6+x12+x7+5+x2+4
解：
84x=14x+7x+12x+42x+756
9x=756
x=84
這就是說，丟番圖活了84歲。
也可用算術方法解。我們把丟番圖的年齡看作整體“1”，童年是16，青年是112，結婚後度過了一生的17，又過了5年生兒子，兒子年齡是他父親生命的12，又過4年，結束了一生。
由此說明(4+5)年恰好是他一生的(1-16-112-17-12)。列式為：