“完全數?數還有不完全的?那不完全的數是不是就是一半的呢?”笨笨問。
“哼，當然不是啦，哪有這麼簡單的!”不等賈伯伯開口，聰聰就搶先說。
“哦，那你說，什麼是完全數呢?”賈伯伯問聰聰。
“嗯…就是…就是…就是整個的數吧?”聰聰試探著說。
“當然也不是啦!”賈伯伯說。聰聰不好意思地低下頭。賈伯伯繼續向他們講著“完全數”的概念。
“什麼是‘完全數’呢?就是說，如果一個自然數正好等於除去它本身以外所有的因數之和，這個自然數就叫‘完全數’。那，你們說，什麼數符合這樣的要求呢?”
聰聰和笨笨想了想，笨笨先遲疑地說：“6……是吧!”
賈伯伯笑著說：“你怎麼知道6是呢?”
笨笨大著膽子說：“因為6除了它自己，還有1、2、3三個因數，而1+2+3，正好就是6，就像您剛才說的，三個因數的和正好等於它自己。”
賈伯伯讚許地說：“笨笨答對了，6就是最小的完全數。除了6以外，28也是完全數。你們看，28除了自己之外，還有1、2、4、7、14五個因數，1+2+4+7+14，不也是28了嗎?”笨笨和聰聰互相看看，都覺得這個“完全數”挺有意思。聰聰問：“那還有多少這樣的‘完全數’呢?”
賈伯伯說：“兩千多年前，人們就發現了6和28這兩個完全數；後來，又發現了496和8128這兩個數，也是完全數。可是又過了一千多年，才又發現了第五個完全數，這個數就是33550326。”
笨笨說：“真不容易呀!”
賈伯伯說：“後來的三百多年，人們又找出了4個完全數，第九個完全數已經有37位了。後來有了電子計算機，人們再找完全數，就方便多了。到現在，總共找到了33個完全數，有的完全數已經有五百多位了呢!”
“那，還有更大的完全數嗎?”聰聰問。
賈伯伯笑了：“完全數到底是有限的還是無限的，這個問題嘛，現在還沒有解決，連數學家也不知道。再比如，已經發現的33個完全數都是偶數，有沒有奇數的完全數?這個也還沒有答案呢!”
牛頓問題
牛頓是17世紀英國最著名的數學家。他不僅勇於探索高深的數學理論，也很重視數學的普及教育，曾專門為中學生編寫過一套數學課本。牛頓認為：“學習科學時，題目比規則還有用些。”所以在書中編排了許多複雜而又有趣的數學題，用來鍛煉學生的數學思維能力。下麵這個題目就是書中一道著名的習題。
“有3塊草地，麵積分別是313頃、10頃和24頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。如果第一塊草地可以供12頭牛吃4個星期，第二塊草地可以供21頭牛吃9個星期，那麼，第三塊草地恰好可以供多少牛吃18個星期？”
這個題目的確複雜而又有趣。因為在幾個月的時間裏，被牛吃過的草地還會長出新的青草來，而這青草的生長量，又因時間的長短、麵積的大小而各不相同！
牛頓潛心研究過這個題目，發現好幾種不同的解法。他認為，下麵這種比例解法最為有趣。
首先，假設草地上的青草被牛吃過以後不再生長。因為“313頃草地可以供12頭牛吃4個星期”，按照這個比例，10頃草地就可以供8頭牛吃18個星期，或者說可以供16頭牛吃9個星期。
由於實際上青草被牛吃過以後還會生長，所以題中說：“10頃草地可以供四頭牛吃9個星期。”把這兩個結論比較一下就會發現，同樣是10頃草地，同樣是9個星期，卻可以多養活21－16＝5頭牛。
這5頭牛的差額表明，在9個星期的後5周裏，10頃草地上新生的青草可供5頭牛吃9個星期。也就是說，可以供25頭牛吃18個星期。
那麼，在18個星期的後14周裏，10頃草地上新生的青草可供多少頭牛吃18個星期呢？5∶14＝25∶？，不難算出答案是7頭牛。
接下來綜合考慮18個星期的各種情況。
前麵已經算出，假定青草不生長時，10頃草地可以供8頭牛吃18個星期；考慮青草生長時，10頃草地上新生的青草可以供7頭牛吃18個星期。因此，10頃草地實際可以供8＋7＝15頭牛吃18個星期。按照這個比例，就不難算出24頃草地可以供多少頭牛吃18個星期了。
10∶24＝15∶？
顯然。“？”處應填36，36就是整個題目的答案。
歐拉問題
大數學家歐拉也很重視數學的普及教育。他經常親自到中學去講授數學知識，為學生編寫數學課本。尤其感人的是，1770年，年邁的歐拉雙目都已失明了，仍然念念不忘給學生編寫《關於代數學的全麵指南》。這本著作出版後，很快就被譯成幾種外國文字流傳開來，直到20世紀，有些學校仍然用它作基本教材。
為了搞好數學普及教育，歐拉潛心研究了許多初等數學問題，還編了不少有趣的數學題。也許因為歐拉是曆史上最偉大的數學家之一，這些題目流傳特別廣。例如，在各個國家的數學課外書籍裏，都能見到下麵這道叫做“歐拉問題”的數學題。
“兩個農婦共帶了100隻雞蛋去集市上出售。兩人的雞蛋數目不一樣，賺的錢卻一樣多。第一個農婦對第二個農婦說：‘如果我有你那麼多的雞蛋，我就能賺15枚銅幣。’第二個農婦回答說：‘如果我有你那麼多的雞蛋，我就隻能賺623枚銅幣。’問兩個農婦各帶了多少隻雞蛋？”
曆史上，像這樣由對話形式給出等量關係的題目並不少見。例如公元前3世紀時，古希臘數學家歐幾裏得曾編了一道驢和騾對話的習題：
“驢和騾馱著貨物並排走在路上，驢不住地抱怨馱的貨物太重，壓得受不了。騾子對它說：‘你發什麼牢騷啊！我馱的比你更重。如果你馱的貨物給我1口袋，我馱的貨物就比你重1倍；而我若給你1口袋，咱倆才剛一般多。’問驢和騾各馱了幾口袋貨物？”
12世紀時，印度數學家婆什迦羅也曾編了一道相似的習題：
“某人對一個朋友說：‘如果你給我100枚銅幣，我將比你富有2倍。’朋友回答說：‘你隻要給我10枚銅幣，我就比你富有6倍。’問兩人各有多少銅幣？”
但是，“歐拉問題”卻編出了新意，由於兩種“如果”出的答數無倍數關係可言，使得題中蘊含的等量關係更加行蹤難覓，解題途徑與上述兩題也不相同。
下麵是歐拉提供的一種解法。
假設第二個農婦的雞蛋數目是第一個農婦的m倍。因為最後兩人賺得的錢一樣多。所以，第一個農婦出售雞蛋的價格必須是第二個農婦的m倍。
如果在出售之前，兩個農婦已將所帶的雞蛋互換，那麼，第一個農婦帶有的雞蛋數目和出售雞蛋的價格，都將是第二個農婦的m倍。也就是說，她賺得的錢數將是第二個農婦的m2倍。
於是有m2＝15∶623。
舍去負值後得m＝3／2，即兩人所帶雞蛋數目之比為3∶2。這樣，由雞蛋總數是100，就不難算出題目的答案了。
想出這種巧妙的解法是很不容易，連一貫謹慎的歐拉也忍不住稱讚自己的解法是“最巧妙的解法”。
百雞問題
百雞問題是我國古代一個極為著名的數學問題，也是古代世界著名數學問題之一。
百雞問題出自中國古代算書《張丘建算經》，題意是這樣的：公雞5元1隻，母雞3元1隻，小雞3隻1元，100元可買100隻雞。問可買公雞、母雞和小雞各多少隻?
答案有三種
①公雞4隻，母雞18隻，小雞78隻；
②公雞8隻，母雞11隻，小雞81隻；
③公雞12隻，母雞4隻，小雞84隻。
百雞問題是一個求不定方程整數解的問題，解法如下：
設公雞x隻，母雞y隻，小雞z隻。根據題意可列出方程組：
x+y+z=1005x+3y+13z=100
消去z，可得7x+4y=100，因此y=100-7x4=25-7x4。由於y表示母雞的隻數，它一定是正整數，因此Χ必須得4的倍數。我們把它寫成：x=4K(K∈N)。於是y=25-7K。代入原方程組，可得z=75+3K。把上麵三個式子寫在一起有：
x=4Ky=25-7Kz=75+3k
在一般情況下，當K取不同的數值時，可得到x、y、z的許許多多組不同的數值。但是對於上麵這個具體問題，由於Y∈N，故K隻能取1、2、3三個數值，由此得到本題的三種答案。
百羊問題
百羊問題是出自中國古代算法《算法統宗》中的一道題。
這個問題說的是：牧羊人趕著一群羊去尋找長得茂盛的地方放牧?
有一個過路人牽著一隻肥羊從後麵跟了上來。他對牧羊人說：“你趕來的這群羊大概有一百隻吧?”牧羊人答道：“如果這一群羊加上一倍，再加上原來這群羊的一半，又加上原來這群羊的四分之一，連你牽著的這隻肥羊也算進去，才剛好湊滿一百隻。”誰能知道牧羊人放牧的這群羊一共有幾隻?
根據題意，我們可設這群羊共有x隻，則
x+x+12x+14x+1=100，解這個方程得：X=36，也就是牧羊人放牧的這群羊共有36隻。