難題來了，給華羅庚一個什麼職務呢？那時的清華大學教師分為助教、教員、講師、副教授和教授五級。當助教需要大學畢業，華羅庚隻有初中畢業學曆，連當助理員也有困難。因為當助理員也得高中畢業。熊慶來決定破格安排華羅庚在數學係當助理員。工作是整理圖書資料、收發文件、代領文具、繪製圖表和通知開會等雜務。因為當時係裏的教師學生人數不多，工作不重。工作之餘可以去聽課和自修。工資每個月40元，比金壇初中時多了一倍還多。對於才華超群但隻有初中學曆的華羅庚，這無疑是絕妙的安排。華羅庚辦公就在熊慶來辦公室的外麵——圖書室。大家來見熊慶來，就會碰到華羅庚。沒有多久，華羅庚跟係裏同仁相處得很熟了，還結交了不少外係的朋友，儼然成為係裏的重要一員。凡數學討論，係內人事，他無不參與。
華羅庚剛來的時候，係裏圖書資料散亂一地。華羅庚很快就把它們一一歸類整理，搞得井井有條，做到“閉著眼睛也能把書找到”。係裏人人都十分滿意。其實最高興的還是華羅庚自己，因為他在金壇翻來覆去看到的隻有《大代數》、《解析幾何》和《微積分》三本書。那時清華大學數學係的圖書雖然算不上豐富，但是在華羅庚的眼裏卻已是“琳琅滿目，美不勝收”了。他像一塊吸水的海綿，以驚人的速度把它們消化吸收。許多在金壇苦苦思索的問題現在都迎刃而解，大量新的更迷人的問題又擺在麵前。生活是那樣的緊張而充實，他恨不能把一天的時間變成兩天來用。
當時清華年輕人中聚集了許多全國的精英，像數學係有陳省身與許寶，以及柯召、吳大任、徐賢修和段學複等，物理係則有王竹溪、趙九章以及錢三強、彭恒武等。與濟濟英才朝夕相處，耳濡目染，華羅庚深受啟發和激勵。每有重要書籍出版，他都喜歡與朋友切磋討論，所以提高很快。他決心加倍努力，“人家每天8小時的工作，我要工作12小時以上才覺得安心”。他廢寢忘食、發憤用功的精神，使同輩人深受感動。
剛來的時候，熊慶來讓華羅庚去聽聽解析幾何和微積分課。後來他很快發現華羅庚不但不必去聽解析幾何和微積分，即使對算學分析也有一定了解。於是他叫華羅庚到自己的算學分析班上來聽課。當時清華的教授和學生人數都很少，算學分析的教授是熊慶來、楊武之和孫光遠。聽課的有5個人：陳省身和吳大任是研究生，柯召和許寶是轉學來的高年級學生，再加上助理員華羅庚。後來，熊慶來在備課遇到疑難或他做不出習題時，就在辦公室裏叫道：“華先生請過來一下，看這個題目怎麼做。”而華羅庚每次總不會讓熊慶來失望。熊慶來在他的著作《高等算學分析》序裏感謝他當時的助手華羅庚和陳省身。該著作被列為“大學叢書”之一。
華羅庚還聽了楊武之開的“群論”課並跟楊武之學習數論，即用初等方法來研究堆壘數論問題。堆壘數論是數論中的一個分支，著名的平方和問題、哥德巴赫猜想問題、華林問題和塔裏問題，都是它的研究對象。楊武之支持華羅庚學習和研究哈代和李特爾伍德的堆壘數論的分析方法——圓法。華羅庚十分感謝楊武之的啟發和指導。他曾說過：“古人雲，生我者父母，知我者鮑叔。我之鮑叔乃楊師也。”
除了聽課，他還博覽群書，特別是數論的著作，像希爾伯特的《數論報告》他讀完後還將它譯成了中文。還有蘭道的《數論教程》，篇幅浩繁，他反複鑽研達到融會貫通。
學術上要攀登世界高峰，外語必不可少。華羅庚在上海中華職業學校隻學過一年英語，當然遠遠不夠。到1934年，經過短短的幾年，他不僅能看英文的數學專著，還可以用英文寫論文。他學習英文的方法很獨特。他說：“我閱讀外文書籍，多半用猜測方式去了解。閱讀時，怕影響注意力，暫不翻字典。全篇讀完後，再查字典。結果發覺自己都猜對了。後來讀得多了，就完全用猜想法，也就不再查字典了，可以順利地一直讀下去。”許多人花費大量時間和精力都攻克不了的外文關，被聰明過人的華羅庚輕而易舉地征服了。他還用同樣的方法掌握了德語和法語。
華羅庚在清華這5年，是他自學最主要和最成功的時期。在金壇的時候，他在《科學》上一共發表了6篇論文，基本上都是初等數學的習作。經過清華的5年自學，在與師長和朋友們的切磋和幫助下，特別是他博覽群書，刻苦鑽研，他的水平有了極大提高。
當時的清華大學數學係屬初創時期，教師均以教學為主，搞研究工作的屈指可數。經過幾年的努力，華羅庚脫穎而出。他又開始在數學雜誌上發表論文了。由於他絕頂聰慧，有敏銳的數學直覺，領悟能力極強，許多素材經他信手拈來，皆成佳作。從1934年起3年內華羅庚共發表了21篇論文，數論14篇，代數4篇，分析3篇。除了國內發表的4篇外，其餘的都在國外數學雜誌發表。其中1935年有一篇發表在德國《數學年鑒》上，該雜誌是當時世界上最重要的數學雜誌。那時候，中國近代數學的研究剛起步，中國人寫的數學論文很少，在國外發表者更是寥若晨星。能夠在德國《數學年鑒》上發表文章，無疑是重大的喜訊。華羅庚高興得站在清華科學館前逢人便告。華羅庚3年能夠發表這麼多文章，令清華的師長和朋友們刮目相看。不過華羅庚鋒芒畢露、個性張揚的舉動也招致素受“溫良恭儉讓”儒家思想教育的同事們私下議論。華羅庚的這些文章與金壇時期相比，無疑已不可同日而語，但與國際先進水平還有一定差距。研究的課題還較散亂，還不屬數學的主流或重大課題。
看到華羅庚的才能，係裏想讓他教微積分。難題又來了，當助教要大學畢業，華羅庚的學曆不夠。更困難的是，助理員是職工編製，而助教是教師編製，要從職工係統調到教員係統幾乎是不可能的事。這裏，中國數學界的前輩們為我們樹立了良好的榜樣。他們所考慮的隻有一條，勝任還是不勝任？為了中國數學的發展，一切的限製和障礙，應當統統推倒。曾任清華大學教務長和數學係主任的鄭桐蓀說：“這樣有才氣而多產的數學家，應以全力支持他成功。”由鄭桐蓀力主，代理主任楊武之讚同，理學院院長葉企孫最後拍板，一槌定音：“清華出了一個華羅庚是件好事，不要被資格所限定。”1933年清華破格提拔華羅庚為助教。1934年委任他為“中華文化教育基金會董事會”乙種研究員。1935年再次破格提拔華羅庚為教員。
1935年7月，《中國數學會》在上海舉行成立大會。《中國數學會學報》（簡稱《學報》）和普及性的《數學雜誌》先後創刊。《學報》的創立是中國數學界開始走向獨立和成熟的一個裏程碑。中國數學會委任蘇步青（1902-2003）為《學報》總編輯。蘇步青1902年生於浙江平陽。1931年獲日本東北帝國大學博士學位，微分幾何專家，是中國數學界領導人之一，為中國的數學發展作出了傑出貢獻。蘇步青挑選華羅庚作為他的助手，擔任《學報》的助理編輯。
名聲鵲起
1935年，應清華大學邀請，著名的法國數學家阿達瑪和美國數學家維納來中國講學。
阿達瑪的工作麵很廣，在解析函數論、數論、泛函分析、常微分方程和偏微分方程等領域都有傑出成就。年已古稀的他到達清華時，熊慶來主持了北平數學界的歡迎大會。當時北平的數學教授中做研究工作的還很少，所以介紹這些教授的專業時，隻能含糊地說“一般數學”。最後介紹到職位最低的華羅庚，華羅庚手裏拿了一疊發表的論文並告訴阿達瑪：“我在研究華林問題”，阿達瑪異常驚喜。他建議華羅庚研究蘇聯數論大師維諾格拉多夫（1891-1983）的方法，因為這種方法是研究這個問題的主要方向；他還介紹華羅庚直接與維諾格拉多夫通信。這些意見對華羅庚的研究工作無疑產生了重要影響。華羅庚從此與維諾格拉多夫直接聯係，經常收到他寄來的單印本，大大改善了華羅庚的學習條件。
美國數學家維納是控製論的創始人，在概率論、布朗運動理論、調和分析與一般陶伯型定理等領域有突出貢獻。維納是美國科學院院士並獲得過許多榮譽頭銜。他年輕而熱心，對聰慧過人、才思敏捷的華羅庚十分賞識。兩人的關係相當密切。據當時聽課的人回憶，隻要華羅庚有些“異常反應”——一聲咳嗽或搖一搖頭，維納就會問華羅庚：“我錯了嗎？”這時候華羅庚會站起來指出，哪兒的推導出了差錯。華羅庚從維納那裏學到了大量傅裏葉分析的技能與知識，對他後來的研究很有幫助。在維納的指導和幫助下，他與徐賢修合作撰寫了一篇關於傅裏葉變換的論文。
維納極力推薦華羅庚到英國劍橋大學的哈代那裏去繼續深造，那裏是世界解析數論的中心之一。他自己就曾經是哈代和李特爾伍德的學生，而他們兩人是堆壘數論的新方法——圓法的創始人與開拓者。華羅庚在人生道路上又麵臨一次選擇：一是留校升講師；一是出國留學。他沒有猶豫。他十分清楚，最終使他的命運擺脫困境的那篇發表在《科學》上關於代數五次方程的“華文”，在國外早在100年前就已有定論。因此，這篇文章對於他個人固然是件好事，但也反映了當時中國數學的落後狀況。他不能因為自己的生活已有很大改善而心安理得地放慢前進的步伐。他要竭盡全力去攀登世界高峰，不辜負一直關心照顧和栽培自己的師長們的殷切期望，力爭在數學上作出更大成績，為國爭光，使中國有朝一日也能躋身世界數學大國乃至數學強國的行列。
為了中國數學的未來，清華大學積極支持並幫助華羅庚實現去劍橋進修的願望。
外國著名數學家阿達瑪和維納來中國講學的消息，吸引中國報紙做了不少報道。年輕的華羅庚的傳奇式的經曆也開始被社會所了解和津津樂道。
攀登新高峰
1936年夏，華羅庚得到中華文化教育基金會每年1200美元乙種資助，以訪問學者的身份赴英國進修。剛好周培源休假結束要回美國普林斯頓高等研究院繼續做研究工作，於是，兩人結伴同行。這給華羅庚帶來了很多方便也大大減輕了旅途的勞頓。
到劍橋的時候，哈代正在美國旅行。看了維納的推薦信和華羅庚的論文，哈代在行前曾留了一張紙條給同事海爾布倫：“華來時，請轉告他，他可以在兩年之內獲得博士學位。”海爾布倫問華羅庚：“你打算攻讀哪一門課程？我們將幫助你。”
華羅庚回答說：“謝謝你的好意。我隻有兩年時間。我不想念博士學位，隻想多學點東西。”
海爾布倫深感意外。通常來英國的留學生，總是先補習英文，再聽一兩門課，最後寫一篇文章，得一個學位。從東方來的青年，居然不稀罕堂堂劍橋大學的博士學位，華羅庚無疑是第一個。海爾布倫真誠地說：“我們歡迎你這樣的訪問學者。”
當然，華羅庚絕不是瞧不起或者不想要博士學位。後來，有位朋友問起他：“你一年完成11篇論文，每一篇都能獲得博士學位，你為什麼沒有去申請呢？”
華羅庚笑笑說：“錢不夠呀，學費極貴，也就算啦。”
這也難怪。華羅庚要負擔拖兒帶口的一家，哪裏交得起昂貴的學費？當然他可以向中華教育基金會申請補助。但是，他沒有這樣做。因為這不符合他的性格。所以他在劍橋始終沒有辦理正式入學手續，卻充分利用劍橋的良好環境聽了七八門課，記了一厚疊筆記，寫了10多篇文章。
在劍橋大學，他的水平躍上了新的台階，他真正做出了世界第一流的工作，引起國際上的重視，達到他一生中第一個高峰。他當時的一些工作，經曆了半個多世紀的考驗，已成為經典文獻，至今仍然作為定理，有的則整章地寫在國外近年出版的數論專著上麵。
在高斯一章中曾多次提到的“二次互反律”，高斯稱它為“黃金定理”。對這個定理高斯先後作出7個證明，其中第4個證明是用所謂“高斯和估計”來證明的。三角和比高斯和更為廣泛。由於三角和估計在解決數論中若幹非常重要問題時極為有用，對它的研究吸引了廣大數論學家的注意。1937年，華羅庚對完整三角和的研究取得重大進展。1908年，希爾伯特解決了華林猜想，但是方法十分複雜。20年後，哈代和李特爾伍德利用圓法改進了華林定理的證明，得到比希爾伯特更深刻的結果。後來維諾格拉多夫對圓法做了改進。1938年華羅庚對哈代和李特爾伍德關於華林問題的結果加以改進和簡化。在這個過程中他得到一個重要不等式——華氏不等式；這個不等式在數論專著中經常被引用。在建立華氏不等式後不久，華羅庚又在著名的布勞赫-塔裏問題上取得重大進展。他用很初等的方法，未引用一篇參考文獻，隻用了6頁篇幅，就把賴特在這個問題上的結果大大改進了。
華羅庚在攻克哥德巴赫猜想上也取得進展，得到了對於任何正整數k，幾乎所有偶數n均可表為一個素數及一個素數的k次方之和，即
n=p1+pk2
這一連串的結果，使他的腦海中形成了一幅以研究華林-哥德巴赫問題為中心、他稱為“堆壘素數論”的宏偉藍圖。
這時華羅庚正處於創造力的高峰。他收到蘇聯科學院的邀請，請他到解析數論的另一個中心——蘇聯訪問和工作。但是，世界正處於多事之秋。七七事變爆發，抗日的烽火燃遍祖國大地。華羅庚坐不住了，在祖國的河山和百姓遭到日本侵略軍恣意蹂躪的時候，他怎能繼續在劍橋潛心研究？他決定立即回國，共赴國難。
華羅庚離開前向老師哈代報告了自己關於三角和估計、華林問題和塔裏問題的結果。哈代聽後非常高興。後來在哈代與賴特合寫的名著《數論入門》中提到了華羅庚的幾個結果。這大概是近代中國數學家最早被外國名家引用的結果。
艱苦歲月
1938年的倫敦。陰雲低垂，涼意襲人。華羅庚乘船踏上歸國的旅途。從倫敦到當時清華大學所在地昆明，迢迢萬裏，一路的艱辛自不待言。吳筱元帶著老母親和女兒已先期在熊慶來、楊武之等人的幫助下，安頓了下來。
此時，華羅庚的學曆雖依然是職高一年級，但是在國內數學界的學術地位已很少有人可以與他匹敵。西南聯大教授聘任委員會繼承清華的優良傳統，打破清規戒律，在著名物理學家吳有訓和楊武之主持下，一致同意華羅庚的正教授資格。從職高一年級到正教授，屈指算來隻用了7年，真可謂是破天荒的奇跡。