開創輝煌——數學成就1
我國為四大文明古國之一，在數學發展的曆史長河中，創造出許多傑出成就。比如勾股定理的發現和證明、“0”和負數的發明和使用、十進位值製記數法、祖衝之的圓周率推算、有個方程的四元術等，都是我國古代數學領域的貢獻，在世界數學史上占有重要地位。
我國古代數學取得的光輝成就，是人類對數學的認識過程中邁出的重要步伐，遠遠走在世界的前列。擴大了數學的領域，推動了數學的發展，在人類認識和改造世界過程中發揮了重要作用。
發現並證明勾股定理
勾股定理是一個基本幾何定理，是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。勾股定理是餘弦定理的一個特例。
世界上幾個文明古國如古巴比倫、古埃及都先後研究過這條定理。我國也是最早了解勾股定理的國家之一，被稱為“商高定理”。
成書於公元前1世紀的我國最古老的天文學著作《周髀算經》中，記載了周武王的大臣周公問於皇家數學家商高的話，其中就有勾股定理的內容。
這段話的主要意思是，周公問：“我聽說你對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那麼關於天的高度和地麵的一些測量的數據是怎麼樣得到的呢？”
商高說：“數的產生來源於對圓和方這些圖形的認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等於3，另一條直角邊‘股’等於4的時候，那麼，它的斜邊‘弦’就必定是5。”
這段對話，是我國古籍中“勾三、股四、弦五”的最早記載。
用現在的數學語言來表述就是：在任何一個不等腰的直角三角形中，兩條直角邊的長度的平方和等於斜邊長度的平方。也可以理解成兩個長邊的平方相減與最短邊的平方相等。
基於上述淵源，我國學者一般把此定理叫做“勾股定理”或“商高定理”。
商高沒有解答勾股定理的具體內容，不過周公的後人陳子曾經運用他所理解的太陽和大地知識，運用勾股定理測日影，以確定太陽的高度。這是我國古代人民利用勾股定理在科學上進行的實踐。
周公的後人陳子也成了一個數學家，是他詳細地講述了測量太陽高度的全套方案。這位陳子是當時的數學權威，《周髀算經》這本書，除了最前麵一節提到商高以外，剩下的部分說的都是陳子的事。
據《周髀算經》說，陳子等人的確以勾股定理為工具，求得了太陽與鎬京之間的距離。為了達到這個目的，他還用了其他一係列的測量方法。
陳子用一隻長8尺，直徑0.1尺的空心竹筒來觀察太陽，讓太陽恰好裝滿竹筒的圓孔，這時候太陽的直徑與它到觀察者之間距離的比例正好是竹筒直徑和長度的比例，即1：80。
經過諸如此類的測量和計算，陳子和他的科研小組測得日下60000裏，日高80000裏，根據勾股定理，求得斜至日整10萬裏。
這個答案現在看來當然是錯的。但在當時，陳子對他的方案充分信心。他進一步闡述這個方案：
在夏至或者冬至這一天的正午，立一根8尺高的竿來測量日影，根據實測，正南1000裏的地方，日影1.5尺，正北1000裏的地方，日影1.7尺。這是實測，下麵就是推理了。
越往北去，日影會越來越長，總有一個地方，日影的長會正好是6尺，這樣，測竿高8尺，日影長6尺，日影的端點到測竿的端點，正好是10尺，是一個完美的“勾三股四弦五”的直角三角形。
這時候的太陽和地麵，正好是這個直角三角形放大若幹倍的相似形，而根據剛才實測數據來說，南北移動1000裏，日影的長短變化是0.1尺，那由此往南60000裏，測得的日影就該是零.
也就是說從這個測點到“日下”，太陽的正下方，正好是60000裏，於是推得日高80000裏，斜至日整10萬裏。
接下來，陳子又講天有多高地有多大，太陽一天行幾度，在他那兒都有答案。
陳子根本沒有想到這一切都是錯的。他要是知道他腳下大的沒邊的大地，隻不過是一個小小的寰球，體積是太陽的1／130萬，就像漂在空中的一粒塵土，真不知道他會是什麼表情。
書的最後部分，陳子指出：一年有265天4分日之一，有12月19分月之7，一月有29天940分日之499。這個認識，有零有整，而且基本上是對的。
現在大家都知道一年有365天，好像不算是什麼學問，但在那個時代，陳子的學問不是那麼簡單的，雖然他不是全對。
勾股定理的應用，在我國戰國時期另一部古籍《路史後記十二注》中也有記載：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據地勢高低，決定水流走向，因勢利導，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的災害，是應用勾股定理的結果。
勾股定理在幾何學中的實際應用非常廣泛，較早的應用案例有《九章算術》中的一題：有一個正方形的池塘，池塘的邊長為一丈，有一棵蘆葦生長在池塘的正中央，並且蘆葦高出水麵部分有一尺，如果把蘆葦拉向岸邊則恰好碰到岸沿，問水深和蘆葦的高度各多少？
這是一道很古老的問題，《九章算術》給出的答案是“12尺”。這是用勾股定理算出的結果。
漢代的數學家趙君卿，在注《周髀算經》時，附了一個圖來證明“商高定理”。這個證明是400多種“商高定理”的證明中最簡單和最巧妙的。
外國人用同樣的方法來證明的，最早是印度數學家巴斯卡拉·阿查雅，那是1150年的時候，可是比趙君卿還晚了1000年。
東漢初年，根據西漢和西漢時期以前數學知識積累而編纂的一部數學著作《九章算術》裏麵，有一章就是講“商高定理”在生產事業上的應用。可惜後來對這個定理很少作進一步的研究，
直至清代才有華蘅芳、李銳、項名達、梅文鼎等創立了這個定理的幾種巧妙的證明。
勾股定理是人們認識宇宙中形的規律的自然起點，在東西方文明起源過程中，有著很多動人的故事。
我國古代數學著作《九章算術》的第九章即為勾股術，並且整體上呈現出明確的算法和應用性特點，表明已懂得利用一些特殊的直角三角形來切割方形的石塊，從事建築廟宇、城牆等。
這與歐幾裏得《幾何原本》第一章的畢達哥拉斯定理及其顯現出來的推理和純理性特點恰好形成熠熠生輝的對比，令人感慨。
[旁注]
周武王 （約公元前1087年～約公元前1042年），周文王的次子。西周時代青銅器銘文常稱其為“斌王”。史稱“周武王”。他繼承父親遺誌，滅掉商朝，奪取全國政權，建立了西周王朝，表現出卓越的軍事和政治才能，成為了我國曆史上的一代明君。
鎬京 位於現在的西安市長安區西北，是西周時代的首都，又稱“西都”、“宗周”。周武王即位後，由豐遷都鎬京，末年遷都洛邑。西周在豐鎬建都曆時為289 年。西安地區在曆史上曾先後有西周、秦、西漢、新、隋、唐等6個統一王朝，因此可稱西安是“十六朝古都”。
趙君卿 三國時期東吳數學家。他的主要貢獻是約在222年深入研究了《周牌算經》，為該書寫了序言，並作了詳細注釋。其中一段530餘字的“勾股圓方圖”注文是數學史上極有價值的文獻。它記述了勾股定理的理論證明。
李銳 曾受業於錢大昕門下，後入阮元幕府，整理數學典籍。實際主持《疇人傳》的編寫工作。著有《弧矢算術細草》、《勾股算術細草》、《方程新術草》，闡發中國古代數學的精粹。
項名達 （1789年～1850年），清代數學家。他在數學方麵的著名成就之一是“橢圓求周術”。另外，項名達和戴煦共同發現了指數為有理數的二項定理。
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“商高定理”在外國稱為“畢達哥拉斯定理”。為什麼一個定理有這麼多名稱呢？
畢達哥拉斯是古希臘數學家，他是公元前5世紀的人，比商高晚出生500多年。希臘另一位數學家歐幾裏得在編著《幾何原本》時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發現的，所以他就把這個定理稱為“畢達哥拉斯定理”，以後就流傳開了。
事實上，說勾股定理是畢達哥拉斯所發現的是不大確切。因為在這之前，古埃及、古巴比倫和我國都已經出現了這方麵的理論與實踐。
發明使用0和負數
我國是世界上公認的“0”的故鄉。在數學史上，“0”的發明和使用是費了一番周折的。我國發明和使用“0”，對世界科學作出了巨大的貢獻。
在商業活動和實際的生活當中，由於“0”不能正確表示出商人付出的錢數和盈利得來的錢數，因而又出現了負數。從古至今，負數在日常生活中有非常重要的作用。