開創輝煌——數學成就3
遙遙領先的圓周率
劉徽創造的割圓術計算方法，隻用圓內接多邊形麵積，而無需外切形麵積，從而簡化了計算程序。同時，為解決圓周率問題，劉徽所運用的初步的極限概念和直曲轉化思想，這在古代也是非常難能可貴的。
在劉徽之後，南北朝時期傑出數學家祖衝之，把圓周率推算到更加精確的程度，取得了極其光輝的成就。
劉徽是魏晉期間偉大的數學家，我國古典數學理論的奠基者之一。他創造了許多數學方麵的成就，其中在圓周率方麵的貢獻，同樣源於他的潛心鑽研。
有一次，劉徽看到石匠在加工石頭，覺得很有趣，就仔細觀察了起來。石匠一斧一斧地鑿下去，一塊方形石料就被加工成了一根光滑的圓柱。
誰會想到，原本一塊方石，經石匠師傅鑿去4個角，就變成了八角形的石頭。再去8個角，又變成了十六邊形。這在一般人看來非常普通的事情，卻觸發了劉徽智慧的火花。
他想：“石匠加工石料的方法，可不可以用在圓周率的研究上呢？”
於是，劉徽采用這個方法，把圓逐漸分割下去，一試果然有效。劉徽獨具慧眼，終於發明了“割圓術”，在世界上把圓周率計算精度提高到了一個新的水平。
近代數學研究已經證明，圓周率是一個“超越數”概念，是一個不能用有限次加減乘除和開各次方等代數運算術出來的數據。我國在兩漢時期之前，一般采用的圓周率是“周三徑一”。很明顯，這個數值非常粗糙，用它進行計算會造成很大的誤差。
隨著生產和科學的發展，“周三徑一”的估算越來越不能滿足精確計算的要求，人們便開始探索比較精確的圓周率。
雖然後來精確度有所提高，但大多卻是經驗性的結果，缺乏堅實的理論基礎。因此，研究計算圓周率的科學方法仍然是十分重要的工作。
魏晉之際的傑出數學家劉徽，在計算圓周率方麵，作出了非常突出的貢獻。
他在為古代數學名著《九章算術》作注的時候，指出“周三徑一”不是圓周率值，而是圓內接正六邊形周長和直徑的比值。而用古法計算出的圓麵積的結果，不是圓麵積，而是圓內接正十二邊形麵積。
經過深入研究，劉徽發現圓內接正多邊形邊數無限增加的時候，多邊形周長無限逼近圓周長，從而創立割圓術，為計算圓周率和圓麵積建立起相當嚴密的理論和完善的算法。
劉徽割圓術的基本思想是
割之彌細，所失彌少，割之又割以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。
就是說分割越細，誤差就越小，無限細分就能逐步接近圓周率的實際值。他很清楚圓內接正多邊形的邊數越多，所求得的圓周率值越精確這一點。
劉徽用割圓的方法，從圓內接正六邊形開始算起，將邊數一倍一倍地增加，即12、24、48、96，因而逐個算出六邊形、十二邊形、二十四邊形等的邊長，這些數值逐步地逼近圓周率。
他做圓內接九十六邊形時，求出的圓周率是3.14，這個結果已經比古率精確多了。他算到了圓內接正三千零七十二邊形，得到圓周率的近似值為3.1416。
劉徽利用“冪”和“差冪”來代替對圓的外切近似，巧妙地避開了對外切多邊形的計算，在計算圓麵積的過程中收到了事半功倍的效果。
劉徽首創“割圓術”的方法，可以說他是我國古代極限思想的傑出代表，在數學史上占有十分重要的地位。他所得到的結果在當時世界上也是很先進的。
在劉徽之後，祖衝之所取得的圓周率數值可以說是圓周率計算的一個躍進。
據《隋書·律曆誌》記載，祖衝之確定了圓周率的不足近似值是3.1415926，過剩近似值是3.1415927，真值在這兩個近似值之間。成為當時世界上最先進的成就。
[旁注]
周三徑一 圓周周長與直徑的比率為3:1。是古代關於圓周率的不太精確的估算。圓周率一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數，是精確計算圓周長及麵積、球體積等幾何量的關鍵值，其定義為圓的周長與直徑的比值，或麵積與半徑平方的比值。
圓麵積 圓，是一種規則的平麵幾何圖形，圓麵積就是指圓形的圖形所占的平麵空間大小。古代的數學家祖衝之，從圓內接正六邊形入手，讓邊數成倍增加，用圓內接正多邊形的麵積去逼近圓麵積。為後人解決這個問題開辟了道路。
冪 數學中的“冪”，是“冪”這個字麵意思的引申。“冪”原指蓋東西的布巾，數學中“冪”是乘方的結果，而乘方的表示是通過在一個數字上加上標的形式來實現的，故這就像在一個數上“蓋上了一個頭巾”，在現實中蓋頭巾又有升級的意思，所以把乘方叫做“冪”。
外切 數學概念。如果一個多邊形或多麵體的每一邊或多麵體之每一麵均與位於其內的一條閉曲線或曲麵相切，則稱此多邊形或多麵體外切於該曲線或曲麵。兩個圓有唯一的交點，並且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切。
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圓周率在生產實踐中應用非常廣泛，在科學不很發達的古代，計算圓周率是一件相當複雜和困難的工作。因此，圓周率的理論和計算在一定程度上反映了一個國家的數學水平。
祖衝之算得小數點後7位準確的圓周率，正是標誌著我國古代高度發展的數學水平。
祖衝之的圓周率精確值在當時世界遙遙領先，直至1000年後阿拉伯數學家阿爾卡西才超過他。所以，國際上曾提議將“圓周率”定名為“祖率”，以紀念祖衝之的傑出貢獻。
創建天元術與四元術
天元術和四元術是宋代創造的高次方程的數值解法。天元術是列方程的方法，四元術是高次方程組的解法。
在我國古代，解方程叫做“開方術”。至宋代，開方術已經發展到曆史的新階段，遠遠走在當時世界先進水平的前麵。
我國古代曆史悠久，特別是數學成就更是十分輝煌，在民間流傳著許多趣味數學題，一般都是以朗朗上口的詩歌形式表達出來。其中就有許多方程題。
比如有一首詩問周瑜的年齡：
大江東去浪淘盡，千古風流數人物。
而立之年督東吳，早逝英年兩位數。
十比個位正小三，個位六倍與壽符。
哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？
依題意得周瑜的年齡是兩位數，而且個位數字比十位數字大3，若設十位數字為X，則個位數字為（X＋3），由“個位6倍與壽符”可列方程得：6（X＋3）=10X＋（X＋3），解得X=3，所以周瑜的年齡為36歲。
再如有一首詩問寺內多少僧人：
巍巍古寺在山林，不知寺內幾多僧。
三百六十四隻碗，看看用盡不差爭。
三人共食一碗菜，四人共吃一碗羹。
請問先生名算者，算來寺內幾多僧？
設寺內有僧人X個，3人共食一碗菜，則吃菜用碗X÷3個，四人共吃一碗羹，則喝羹用碗X÷4個，正好用完364個碗，得X÷3＋X÷4=364，解得X=624，所以寺內有624個僧人。
這些古代方程題非常有趣，普及了數學知識，激發了人們的數學思維。
在古代數學中，列方程和解方程是相互聯係的兩個重要問題。