宋代以前，數學家要列出一個方程，如唐代著名數學家王孝通撰寫的《緝古算經》，首次提出三次方程式正根的解法，能解決工程建設中上下寬狹不一的計算問題，是對古代數學理論的卓越貢獻，比阿拉伯人早300多年，比歐洲早600多年。
隨著宋代數學研究的發展，解方程有了完善的方法，這就直接促進了對於列方程方法的研究，於是出現了我國數學的又一項傑出創造天元術。
據史籍記載，金元之際已有一批有關天元術的著作，尤其是數學家李冶和朱世傑的著作中，都對天元術作了清楚的闡述。
李冶在數學專著《測圓海鏡》中通過勾股容圓問題全麵地論述了設立未知數和列方程的步驟、技巧、運算法則，以及文字符號表示法等，使天元術發展到相當成熟的新階段。
《益古演段》則是李冶為天元術初學者所寫的一部簡明易曉的入門書。他還著有《敬齋古今黈》、《敬齋文集》、《壁書叢削》、《泛說》等，前一種今有輯本12卷，後3種已失傳。
朱世傑所著《算學啟蒙》，內容包括常用數據、度量衡和田畝麵積單位的換算、籌算四則運算法則、籌算簡法、分數、比例、麵積、體積、盈不足術、高階等差級數求和、數字方程解法、線性方程組解法、天元術等，是一部較全麵的數學啟蒙書籍。
朱世傑的代表作《四元玉鑒》記載了他所創造的高次方程組的建立與求解方法，以及他在高階等差級數求和、高階內插法等方麵的重要成就。
美國科學史家喬治·薩頓在他的名著《科學史導論》中指出：
《四元玉鑒》是中國數學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最傑出的數學著作之一。
除李冶、朱世傑外，元代色目人學者贍思《河防通議》中也有天元術在水利工程方麵的應用。
天元術是利用未知數列方程的一般方法，與現在代數學中列方程的方法基本一致，但寫法不同。它首先要“立天元一為某某”，相當於“設X為某某”，再根據問題給出的條件列出兩個相等的代數式。然後，通過類似合並同類項的過程，得出一個一端為零的方程。
天元術的出現，提供了列方程的統一方法，其步驟要比阿拉伯數學家的代數學進步得多。而在歐洲，隻是至16世紀才做到這一點。
繼天元術之後，數學家又很快把這種方法推廣到多元高次方程組，最後又由朱世傑創立了四元術。
自從《九章算術》提出了多元一次聯立方程後，多少世紀沒有顯著的進步。
在列方程方麵，蔣周的演段法為天元術做了準備工作，他已具有尋找等值多項式的思想；洞淵馬與信道是天元術的先驅，但他們推導方程仍受幾何思維的束縛；李冶基本上擺脫了這種束縛，總結出一套固定的天元術程序，使天元術進入成熟階段。
在解方程方麵，賈憲給出增乘開方法，劉益則用正負開方術求出四次方程正根，秦九韶在此基礎上解決了高次方程的數值解法問題。至此，一元高次方程的建立和求解都已實現。
線性方程組古已有之，所以具備了多元高次方程組產生的條件。李德載的二元術和劉大鑒的三元術相繼出現，朱世傑集前人之大成，對二元術、三元術的總結與提高，把“天元術”發展為“四元術”，建立了四元高次方程組理論。
元代傑出數學家朱世傑的《四元玉鑒》舉例說明了一元方程、二元方程、三元方程、四元方程的布列方法和解法。其中有的例題相當複雜，數字驚人的龐大，不但過去從未有過，就是今天也很少見。可見朱世傑已經非常熟練地掌握了多元高次方程組的解法。
“四元術”是多元高次方程組的建立和求解方法。用四元術解方程組，是將方程組的各項係數擺成一個方陣。
其中常數項右側仍記一“太”字，4個未知數一次項的係數分置於常數項的上下左右，高次項係數則按冪次逐一向外擴展，各行列交叉處分別表示相應未知數各次冪的乘積。
解這個用方陣表示的方程組時，要運用消元法，經過方程變換，逐步化成一個一元高次方程，再用增乘開方法求出正根。
從四元術的表示法來看，這種方陣形式不僅運算繁難，而且難以表示含有4個以上未知數的方程組，帶有很大的局限性。
我國代數學在四元術時期發展至頂峰，如果要再前進一步，那就需要另辟蹊徑，突破新的難關了。後來，清代的代數學進展是通過汪萊等人對於方程理論的深入研究和引進西方數學這兩條途徑來實現的。
[旁注]
周瑜 （175年～210年），洛陽令周異之子，有姿貌、精音律，江東有“曲有誤，周郎顧”之語。正史上周瑜“性度恢廓”“實奇才也”，範成大譽之為“江左風流美丈夫”。
王孝通 唐代算曆博士。武德年間曾任通直郎太史丞，並參加修改曆法工作。王孝通的主要貢獻在數學方麵，他的專著是《緝古算經》。唐國子監設“算學”，以“十部算書”為教科書，列《緝古算經》為“十書”之一，並規定此書學習年限長達3年。
色目人 是元代時對西部民族的統稱，也是元代人民的4種位階之一，地位在蒙古人之下，漢人和南人之上。一切非蒙古、漢人、南人的都算是色目人。包括粟特人、吐蕃人等。元代重用色目人，入居中原的色目人，多高官厚祿，钜賈大賈。
消元法 是將方程組中的一個方程的未知數用含有另一個未知數的代數式表示，並代入到另一個方程中去，這就消去了一個未知數，得到一個解。代入消元法簡稱“代入法”。消元法的功能主要有解方程組、代數問題和幾何問題。
汪萊 (1768年～1813年)，清代著名數學家。他對數學、天文、經學、訓詁學、音韻學和樂律等都有很深造詣，尤以數學成就最著。曾經因治理黃河水害，受命測量雲梯關、六塘河入海口高程。著有《衡齋算學》。
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元代數學家朱世傑建立了四元高次方程組解法“四元術”，居於世界領先水平。在外國，多元方程組雖然也偶然在古代的民族中出現過，但較係統地研究卻遲至16世紀。
1559年法國人彪特才開始用A、 B、C等來表示不同的未知數。過去不同未知數用同一符號來表示，以致含混不清。正式討論多元高次方程組已到18世紀，由探究高次代數曲線的交點個數而引起。
1100年法國人培祖提出用消去法的解法，這已在朱世傑之後四五百年了。
創建垛積術與招差術
垛積術源於北宋時期科學家沈括首創的“隙積術”，用來研究某種物品按一定規律堆積起來求其總數問題，即高階等差級數的研究。後世數學家豐富和發展了這一成果。
招差術的創立、發展和應用，是我國數學史和天文學史上具有世界意義的重大成就。
北宋真宗時，有一年皇宮失火，很多建築被燒毀，修複工作需要大量土方。當時因城外取土太遠，遂采用沈括的方案：
就近在大街取土，將大街挖成巨塹，然後引汴水入塹成河，使運料的船隻可以沿河直抵宮門。竣工後，將瓦礫廢料充塞巨塹複為大街。
沈括提出的方案，一舉解決了取土、運料、廢料處理問題。此外，沈括還有“因糧於敵”、“高超合龍”，“引水補堤”等，也都是使用運籌學思想的例子。
沈括是北宋時期的大科學家，博學多識，在天文、方誌、律曆、音樂、醫藥、卜算等方麵皆有所論著。沈括注意數學的應用，把它應用於天文、曆法、工程、軍事等領域，得出許多重要的成果。