沈括的數學成就主要是提出了隙積術、測算、度量、運糧對策等。其中的“隙積術”是高階等差級數求和的一種方法，為後來南宋楊輝的“垛積術”、元代郭守敬和朱世傑的“招差術”開辟了道路。
垛積，即堆垛求積的意思。由於許多堆垛現象呈高階等差數列，因此垛積術在我國古代數學中就成了專門研究高階等差數列求和的方法。
沈括在《夢溪筆談》中說：算術中求各種幾何體積的方法，例如長方棱台、兩底麵為直角三角形的正柱體、三角錐體、四棱錐等，大致都已具備，唯獨沒有隙積這種算法。
所謂隙積，就是有空隙的堆垛體，像壘起來的棋子，以及酒店裏疊置的酒壇一類的東西。他們的形狀雖像覆鬥，4個測麵也都是斜的，但由於內部有內隙之處，如果用長方棱台方法來計算，得出的結果往往比實際為少。
沈括所言把隙積與體積之間的關係講得一清二楚。同樣是求積，但“隙積”是內部有空隙的，像累棋，層層堆積壇罐一樣。
而酒家積壇之類的隙積問題，不能套用長方棱台體積公式。但也不是不可類比，有空隙的堆垛體畢竟很像長方棱台，因此在算法上應該有一些聯係。
沈括是用什麼方法求得這一正確公式的，《夢溪筆談》沒有詳細說明。現有多種猜測，有人認為是對不同長、寬、高的垛積進行多次實驗，用歸納方法得出的；還有人認為可能是用“損廣補狹”辦法，割補幾何體得出。
沈括所創造的將級數與體積比類，從而求和的方法，為後人研究級數求和問題提供了一條思路。首先是南宋末年的數學家楊輝在這條思路中獲得了成就。
楊輝在《詳解九章算術算法》和《算法通變本末》中，豐富和發展了沈括的“隙積術”成果，提出了一些新的垛積公式。
沈括、楊輝等所討論的級數與一般等差級數不同，前後兩項之差並不相等，但是逐項差數之差或者高次差相等。對這類高階等差級數的研究，在楊輝之後一般稱為“垛積術”。
元代數學家朱世傑在其所著的《四元玉鑒》一書中，把沈括、楊輝在高階等差級數求和方麵的工作向前推進了一步。
朱世傑對於垛積術做了進一步的研究，並得到一係列重要的高階等差級數求和公式，這是元代數學的又一項突出成就。他還研究了更複雜的垛積公式及其在各種問題中的實際應用。
對於一般等差數列和等比數列，我國古代很早就有了初步的研究成果。總結和歸納出這些公式並不是一件輕而易舉的事情，是有相當難度的。上述沈括、楊輝、朱世傑等人的研究工作，為此作出了突出的貢獻。
“招差術”也是我國古代數學領域的一項重要成就，曾被大科學家牛頓加以利用，在世界上產生深遠影響。
我國古代天文學中早已應用了一次內插法，隋唐時期又創立了等間距和不等間距二次內插法，用以計算日月五星的視行度數。這項工作首先是由劉焯開始的。
劉焯是隋代經學家、天文學家。他的門生弟子很多，成名的也不少，其中衡水縣的孔穎達和蓋文達，就是他的得意門生，後來成為唐代初期的經學大師。
隋煬帝即位，劉焯任太學博士。當時，曆法多存謬誤，他嘔心瀝血製成《皇極曆》，首次考慮到太陽視運動的不均性，創立“等間距二次內插法公式”來計算日、月、五星的運行速度。
《皇極曆》在推算日行盈縮，黃道月道損益，日、月食的多少及出現的地點和時間等方麵，都比以前諸曆精密得多。
由於太陽的視運動對時間來講並不是一個二次函數，因此即使用不等間距的二次內插公式也不能精確地推算太陽和月球運行的速度等。因此，劉焯的內插法有待於進一步研究。
宋元時期，天文學與數學的關係進一步密切了，許多重要的數學方法，如高次方程的數值解法，以及高次等差數列求和方法等，都被天文學所吸收，成為製訂新曆法的重要工具。元代的《授時曆》就是一個典型。
《授時曆》是由元代天文學家兼數學家郭守敬為主集體編寫的一部先進的曆法著作。其先進的成就之一，就是其中應用了招差術。
郭守敬創立了相當於球麵三角公式的算法，用於計算天體的黃道坐標和赤道坐標及其相互換算，廢除了曆代編算曆法中的分數計算，采用百位進製，使運算過程大為簡化。
與此同時，在推算太陽逐日運行的速度以及它在黃道上的經度時，郭守敬還創造了“招差術”，即三次內差法，使天體位置推算得更加精確，比牛頓提出的內差法一般公式早了近400年。
招差術在朱世傑的時候得到了更深入的發展。《四元玉鑒》“如象招數”一門共5問，都是和招差有關的問題。
因為朱世傑比較完善地掌握了級數求和方麵的知識，特別是掌握了各種三角垛求和方麵的知識的緣故，所以，他在我國數學史上第一次完整地列出了高次招差的公式。
在歐洲，招差術由牛頓加以發展，推出著名的牛頓插值公式。朱世傑所發現的公式與牛頓插值公式在形式上和實質上都是完全一致的，而且比後者要早300多年。
[旁注]
汴水 古河名。北宋時期，開封之所以能成為一個全國統一的“八方輻輳，四麵雲集”的大都市，其主要原因，就是因為有了這條煙波浩瀚的汴河。它把黃河和長江聯係起來，使各地的糧食和物資得以源源不斷地運進開封。元代還有“一蘇、二杭、三汴梁”的諺語。
方誌 記述地方情況的史誌。有全國性的總誌和地方性的州郡府縣製兩類。總誌如《大清一統誌》。以省為單位的方誌稱“通誌”，如《山西通誌》，元代以後著名的鄉鎮、寺觀、山川也多有誌，如《南潯誌》。方誌分門別類，取材宏富，是研究曆史及曆史地理的重要資料。
郭守敬 （1231年～1316年）。元代天文學家、數學家、水利專家和儀器製造專家。郭守敬修訂的新曆法《授時曆》，是當時世界上最先進的一種精良的曆法，實行360多年。天文學界有“郭守敬環形山”和“郭守敬小行星”的天體命名。
劉焯 （544年～610年）。隋代天文學家。編有《皇極曆》，在曆法中首次考慮太陽視差運動的不均勻性，創立用三次差內插法來計算日月視差運動速度，推算出五星位置和日、月食的起運時刻。這是我國曆法史上的重大突破。
孔穎達 （574年～648年）。唐代經學家。盛世鴻儒。曾奉唐太宗命編纂《五經正義》，被唐代朝廷頒為經學的標準解釋，從而完成了我國經學史上從紛爭到統一的演變過程。他是一個對我國經學具有總結和統一之功的大經學家。
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有一天，風景秀麗的揚州瘦西湖畔，來了一位教書先生，在寓所門前掛起一塊招牌，上麵用大字寫著：“燕山朱鬆庭先生，專門教授四元術。”朱世傑號鬆庭。
一時間，求知者便絡繹不絕。
朱世傑曾路見不平，挺身而出，救下一個被妓女院的鴇母追打的賣身女。後來在他的精心教導下，苦命的姑娘頗懂些數學知識，成了朱世傑的得力助手，兩人結成夫妻。
此事至今還在揚州民間流傳：“元代朱漢卿，教書又育人。救人出苦海，婚姻大事成。”