李冶經過一段時間的顛沛流離之後，定居於現在山西省崞山的桐川。由於他不再為官，這在客觀上使他的科學研究有了充分的時間。他在桐川的究工作是多方麵的，包括數學、文學、曆史、天文、哲學、醫學。
李冶在桐川的生活條件是十分艱苦的，不僅居室狹小，而且常常不得溫飽，要為衣食而奔波。但他卻以著書為樂，從不間斷自己的寫作。
李冶的數學研究是以天元術為主攻方向的。這時天元術雖已產生，但還不成熟，就像一棵小樹一樣，需要人精心培植。李冶在前人的基礎上，將天元術改進成一種更簡便而實用的方法。
特別值得一提的是，他在桐川得到了道教洞淵派的一部算書，內有九容公式，專講勾股容圓問題的內容。此書對他啟發甚大。為了能全麵、深入地研究天元術，李冶把勾股容圓問題作為一個係統來研究。
李冶討論了在各種條件下用天元術求圓徑的問題，經過多年的艱苦奮鬥，在l248年寫成《測圓海鏡》12卷。這是他一生中的最大成就，也是我國現存最早的一部係統講述天元術的著作。
《測圓海鏡》不僅保留了洞淵九容公式，即9種求直角三角形內切圓直徑的方法，而且給出一批新的求圓徑公式。其主要成就是總結並完善了天元術，使之成為我國獨特的半符號代數。這種半符號代數的產生，要比歐洲早三百年左右。
卷1的“識別雜記”闡明了圓城圖式中各勾股形邊長之間的關係以及它們與圓徑的關係，共600餘條，每條可看做一個定理或公式。這部分內容是對中國古代關於勾股容圓問題的總結。
後麵各卷的習題，都可以在“識別雜記”的基礎上以天元術為工具推導出來。
李冶總結出一套簡明實用的天元術程序，並給出化分式方程為整式方程的方法。他發明了負號和一套先進的小數記法，采用了從0至9的完整數碼。
除O以外的數碼古已有之，是籌式的反映。但籌式中遇O空位，沒有符號O。從現存古算書來看，李冶的《測圓海鏡》和秦九韶《數書九章》是較早使用O的兩本書，它們成書的時間相差不過一年。
《測圓海鏡》重在列方程，對方程的解法涉及不多。但書中用天元術導出許多高次方程，給出的根全部準確無誤，可見李冶是掌握高次方程數值解法的。
《測圓海鏡》在體例上也有創新。全書基本上是一個演繹體係，卷一包含了解題所需的定義、定理、公式，後麵各卷問題的解法均可在此基礎上以天元術為工具推導出來。李冶之前的算書，一般采取問題集的形式，各章、卷內容大體上平列。
李冶以演繹法著書，這是我國數學史上的一個進步。
《測圓海鏡》的成書標誌著天元術成熟，對後世有深遠影響。元代王恂、郭守敬在編《授時曆》的過程中，曾用天元術求周天弧度。
元代大數學家朱世傑說：“以天元演之、明源活法，省功數倍。”
清代著作家阮元認為：
立天元者，自古算家之秘術；而海鏡者，中土數學之寶書也。
《測圓海鏡》無疑是當時世界上第一流的數學著作。但由於內容較深，粗知數學的人看不懂，所以天元術的傳播速度較慢。
李冶清楚地看到這一點，他堅信天元術是解決數學問題的一個有力工具，同時深刻認識到普及天元術的必要性。於是，他在1259年寫成另一部數學著作《益古演段》，這是一本普及天元術的著作。
《益古演段》把天元術用於解決實際問題，研究對象是日常所見的方、圓麵積。全書64題，處理的主要是平麵圖形的麵積問題，所求多為圓徑、方邊、周長之類。
除4道題是一次方程外，其他全是二次方程問題，內容安排基本上是從易到難。
此時的李冶對天元術的運用更加熟練，他在《益古演段》中常用人們易懂的幾何方法對天元術進行驗證，這對於人們接受天元術是有好處的。
在數學理論上，《益古演段》也有創新。該書的問題同《測圓海鏡》不同，所求量不是一個而是兩個、三個甚至四個。按古代方程理論，應該用方程組來解，所含方程個數與所求量個數一致。但解二次方程組要比解一元方程困難得多。
李冶既已完善了天元術程序，便力圖提高它的一般化程度，用以解決各種多元問題。
他的主要方法是利用出入相補原理及等量關係來減少未知數，化多元為一元，找到關鍵的天元一。一旦這個天元一求出來，其他要求的量就可根據與天元一的關係，很容易求出了。
《益古演段》的價值不僅在於普及天元術，理論上也有創新。
李冶善於用傳統的出入相補原理及各種等量關係來減少題目中的未知數個數，化多元問題為一元問題。同時，李冶在解方程時采用了設輔助未知數的新方法，以簡化運算。
《益古演段》圖文並茂，深入淺出，不僅利於教學，也便於自學。這些特點，使它成為一本受人們歡迎的數學教材，對天元術的傳播發揮了不小的作用。
[旁注]
推官 唐代始置，節度使、觀察使、團練使、防禦使、采訪處置使下皆設一員，位次於判官、掌書記，掌推勾獄訟之事。金、元、明、清代還兼有審計職能。清代初期沿時製，於各府設推官及掛銜推官。順治時罷掛職銜推官，康熙時廢除推官。
元好問 （1190年～1257年）。元代文學家、詩人、曆史學家。創作多首膾炙人口的詩歌。其《論詩》絕句30首在中國文學批評史上頗有地位；作有《遺山集》又名《遺山先生文集》，編有《中州集》。
洞淵派 洞淵派是道教的一個派別。主要通過齋咒為人治病，《道藏》中冠有洞淵的經書，就是該派的經典。該派起源自晉朝末期的道士王纂，入唐而盛。唐代道士韋善俊、葉法善等，皆為洞淵派道士。
阮元 （1764年～1849年）。清代嘉慶、道光間名臣。也是著作家、刊刻家、思想家，在經史、數學、天算、輿地、編纂、金石、校勘等方麵都有著非常高的造詣，被尊為“一代文宗”。
出入相補原理 是我國古代數學中一條用於推證幾何圖形的麵積或體積的基本原理。一個平麵圖形從一處移置他處，麵積不變。又圖形分割成若幹塊，則各部分麵積的和等於原來圖形的麵積，因而圖形移置前後諸麵積間的和、差有簡單的相等關係。立體的情形也是這樣。
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李冶曾與金代遺老竇默等人接受忽必烈召見，向忽必烈提出“辨奸邪、去女謁、屏饞慝、減刑罰、止征伐”5條政治建議。
忽必烈聘請李冶擔任翰林學士知製誥同修國史，這是一份清高而顯要的工作。但李冶以老病為辭，婉言謝絕了。
李冶拒絕忽必烈的聘請是有原因的。忽必烈沒有真正接受李冶“止征伐”的建議，而是大舉攻宋，從而引起李冶不滿。此外，忽必烈初登帝位時連年內戰，而李冶是個追求思想自由的人，尤其不願在學術上唯命是從。
數學家和數學教育家楊輝
楊輝是南宋時期傑出的數學家。他是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和討論其構成規律的數學家。除此成就之外，還有一項重大貢獻，就是“楊輝三角”。與秦九韶、李冶、朱世傑並稱為“宋元數學四大家”。
楊輝也是數學教育家。他非常重視數學教育的普及和發展，在《算法通變本末》中，他為初學者製訂的“習算綱目”，是我國古代數學教育史上的重要文獻。
有一天，台州府的地方官楊輝出外巡遊。迷人的春天慷慨地散布著芳香的氣息。楝樹、花梨樹和栗樹都仿佛被自身的芬芳熏醉了。杜鵑在芒果枝頭鳴囀，畫眉鳥蹲在樹枝啼聲。
楊輝撩起轎簾，看那雜花生樹，飛鳥穿林，真乃是一年好景，旖旎風光。走著走著，隻見開道的鏜鑼停了下來，前麵傳來孩童的大聲喊叫聲，接著是衙役的訓斥聲。
楊輝忙問怎麼回事，差人來報：“孩童不讓過，說等他把題目算完後才讓走，要不就繞道。”
楊輝一聽來了興趣，連忙下轎抬步，來到前麵。他摸著孩童頭說：“為何不讓本官從此處經過？”
孩童答道：“不是不讓經過，我是怕你們把我的算式踩掉，我又想不起來了。”
“什麼算式？”
“就是把1至9的數字分3行排列，不論直著加，橫著加，還是斜著加，結果都是等於15。我們先生讓下午一定要把這道題做好。我正算到關鍵之處。”
楊輝連忙蹲下身，仔細地看那孩童的算式，覺得這個數字，從哪見過，仔細一想，原來是西漢學者戴德編纂的《大戴禮》書中所寫的文章中提及的。