楊輝和孩童倆人連忙一起算了起來，直至天已過午，倆人才舒了一口氣，結果出來了，他們又驗算了一下，覺得結果全是15，這才站了起來。
孩童望著這位慈祥和善的地方官說：“耽擱你的時間了，到我家吃飯吧！”
楊輝一聽，說：“好，好，下午我也去見見你先生。”
孩童望著楊輝，淚眼汪汪。楊輝心想，這裏肯定有什麼蹊蹺，溫和地問道：“到底是怎麼回事？”
孩童這才一五一十地道出了原因。
原來，這孩童並未上學，家中窮得連飯都吃不飽，沒有錢讀書。而這孩童給地主家放牛，每到學生上學時，他就偷偷地躲在學生的窗下偷聽，今天上午先生出了這道題，這孩童用心自學，終於把它解決了。
楊輝聽到此，感動萬分，一個小小的孩童，竟有這番苦心，實在不易。便對孩童說：“這是10兩銀子，你拿回家去吧！下午你到學校去，我在那兒等你。”
下午，楊輝帶著孩童找到先生，把這孩童的情況向先生說了一遍，又掏出銀兩，給孩童補了名額。孩童一家感激不盡。自此，這孩童方才有了真正的先生。
教書先生對楊輝的清廉為人非常敬佩，於是倆人談論起數學。楊輝說道：“方才我和孩童做的那道題好像是《大戴禮》書中的？”
那先生笑著說：“是啊，《大戴禮》雖然是一部記載各種禮儀製度的文集，但其中也包含著一定的數學知識。方才你說的題目，就是我給孩子們出的數學遊戲題。”
教書先生看到楊輝疑惑的神情，又說道：“南北朝的甄鸞在《數術記遺》一書中就寫過：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。”
楊輝默念一遍，發現他說的正與上午他和孩童擺的數字一樣，便問道：“你可知道這個九宮圖是如何造出來的？”
教書先生也不知出處。
楊輝回到家中，反複琢磨，一有空閑就在桌上擺弄著這些數字，終於發現一條規律。他把這條規律總結成四句話：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出”。
意思是說：一開始將九個數字從大到小斜排3行，然後將9和1對換，左邊7和右邊3對換，最後將位於四角的4、2、6、8分別向外移動，排成縱橫3行，就構成了九宮圖。
按照類似的規律，楊輝又得到了“花十六圖”，就是從1到16的數字排列在4行4列的方格中，使每一橫行、縱行、斜行4個數之和均為34。
後來，楊輝又將散見於前人著作和流傳於民間的有關這類問題加以整理，得到了“五五圖”、“六六圖”、“衍數圖”、“易數圖”、“九九圖”、“百子圖”等許多類似的圖。
楊輝把這些圖總稱為縱橫圖，並於1275年寫進自己的數學著作《續古摘奇算法》一書中，並流傳後世。
《續古摘奇算法》上卷首先列出20個縱橫圖，即幻方。其中第一個為河圖，第二個為洛書，其次，4行、5行、6行、7行、8行幻方各兩個，9行、10行幻方各一個，最後有“聚五”“聚六”：聚八”“攢九”“八陣”“連環”等圖。
有一些圖有文字說明，但每一個圖都有構造方法，使圖中各自然數“多寡相資，鄰壁相兼”湊成相等的和數。卷下評說有極高的科學價值。
縱橫圖，即所謂的幻方。楊輝不僅給出了這些圖的編造方法，而且對一些圖的一般構造規律有所認識，打破了幻方的神秘性。這是世界上對幻方最早的係統研究和記錄。
楊輝可以說是世界上第一個給出了如此豐富的縱橫圖和討論了其構成規律的數學家。自楊輝以後，明清兩代中算家關於縱橫圖的研究相繼不斷。
楊輝一生留下了大量的著述，除了《續古摘奇算法》2卷外，還有《詳解九章算法》12卷，《日用算法》2卷，《乘除通變本末》3卷，《田畝比類乘除捷法》2卷。
《詳解九章算法》取魏劉微注、唐代李淳風等注釋、北宋時期賈憲細草的《九章算術》中的80問進行詳解。
在《九章算術》9卷的基礎上，又增加了3卷，一卷是圖；一卷是講乘除算法的；一卷是纂類。
其中的“纂類”突破《九章算術》的分類格局，按照解法的性質，重新分為乘除、分率、合率、互換、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。
楊輝在《詳解九章算法》一書中還畫了一張表示二項式展開後的係數構成的三角圖形，稱作“開方做法本源”，現在簡稱為“楊輝三角”。
楊輝三角最本質的特征是，它的兩條斜邊都是由數字1組成的，而其餘的數則是等於它肩上的兩個數之和。
楊輝三角的意義在於，其中的數列，能有效地運用於解數字係數的高次方程。無論是在幾何、代數還是三角函數中，利用“楊輝三角”都能不同程度地提高解題效率。
《日用算法》，原書不傳，僅有幾個題目留傳下來。從《算法雜錄》所引楊輝自序可知該書內容梗概：
以乘除加減為法，秤鬥尺田為問，編詩括十三首，立圖草六十六問。用法必載源流，命題須責實有，分上下卷。
該書無疑是一本通俗的實用算書。
《乘除通變本末》3卷，皆各有題，在總結民間對等算乘除法的改進上作出了重大貢獻。
上卷叫《算法通變本末》，首先提出“習算綱目”，是數學教育史的重要文獻，又論乘除算法；中卷叫《乘除通變算寶》，論以加減代乘除、求一、九歸諸術；下卷叫《法算取用本末》，是對中卷的注解。
《田畝比類乘除捷法》，其上卷內容是《詳解九章算法》方田章的延展，所選例子非常貼近實際。下卷主要是對劉益工作的引述，下征引了《議古根源》22個問題，主要是二次方程和四次方程的解法。
楊輝著作大都注意應用算術，淺近易曉。
其著作還廣泛征引數學典籍和當時的算書，我國古代數學的一些傑出成果，比如北宋數學家劉益的“正負開方術”，賈憲的“開方作法本源圖”和“增乘開方法”等，幸得楊輝引用，否則，今天將不複為我們知曉。
楊輝不僅是一位著述甚豐的數學家，而且還是一位傑出的數學教育家。他一生致力於數學教育和數學普及，其著述有很多是為了數學教育和普及而寫。
楊輝在編著《乘除通變本末》3卷的時候，有著很強的計劃性和目的性，於是整套教材在體係上顯得非常完整。為了使人們學習起數學來，更方便更容易，楊輝還自編了“習算綱目”作為教學大綱，這在我國古代的數學教學上還從未有過。
因為普及的對象是麵向基層群眾，楊輝在數學教材的編寫上非常下工夫，除了有教學大綱之外，而且很多內容也是用人民群眾容易記誦的“歌訣”形式表達出來。
楊輝便把枯燥深奧的數學知識用通俗易懂的方式傳播了開來，同時也使得楊輝的數學在民間流傳並保存了下來，給後人提供了寶貴的學習財富。
[旁注]
台州府 明太祖洪武年間建，改台州路為台州府，隸浙江行省。清代沿明代體製，康熙時隸屬浙江省紹台道，後來先後隸屬寧台溫海道、台海道、寧台道、寧紹台道。臨海市老城區現在還遺存具有軍事防禦與防洪雙重功能的府城城牆。
戴德 西漢時禮貌學家，今文禮學“大戴學”的開創者。漢宣帝時立為博士，稱“大戴”，也叫“太傅《禮》”。曾選集古代各種有關禮儀等的論述編成《大戴禮記》85篇。戴德和《小戴禮記》的編纂者戴聖都是西漢經學家後蒼的弟子。
甄鸞 （535年～566年）。北周時期數學家。擅長於精算，製天和曆法，於566年起被采用頒行。曾注釋不少古算書，著有《五經算術》等。《算經十書》中除《綴術》及後邊的《緝古算經》外，都有他撰注的記載。
劉益 北宋時期數學家。完成《論古根源》著作，提出二次方程式的求根法。劉益第一個把賈憲的“增乘開方法”作進一步推廣，使它成為求解高次方程的普遍解法，對於係數是正數、負數、整數、小數的一般方程也使用。
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楊輝為保存賈憲的數學研究成果做出過可貴的努力。
有一次，他得到一本北宋數家賈憲寫的《黃帝九章算法細草》。這裏麵有不少了不起的成就，如“開方作法本源圖”，他把賈憲的這張畫忠實地記錄下來，並保存在自己的《詳解九章算術》一書中。
後來人們發現，這個大三角形不僅可以用來開方和解方程，而且與組合、高階等差級數、內插法等數學知識都有密切關係。在西方，直至16世紀才有人在一本書的封麵上繪出類似的圖形。