群星閃耀——數學名家3
貫穿古今的數學家朱世傑
朱世傑是元代數學家、教育家，畢生從事數學教育。有“中世紀世界最偉大的數學家”、“貫穿古今的一位最傑出的數學家”之譽。與秦九韶、楊輝、李冶並稱為“宋元數學四大家”。
朱世傑的著作《算學啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數學的發展。《四元玉鑒》則是我國宋元時期數學高峰的又一個標誌，其中最傑出的數學創作有“四元術”、“垛積法”與“招差術”。
朱世傑的青少年時代，大約相當於蒙古滅金之後。元統一全國後，朱世傑曾以數學家的身份周遊各地20餘年，向他求學的人很多。他到廣陵時，史載“踵門而學者雲集”。
就當時的數學發展情況而論，在河北南部和山西南部地區，出現了一個以“天元術”為代表的數學研究中心。
當時的北方，正處於天元術逐漸發展成為二元、三元術的重要時期，朱世傑較好地繼承了當時北方數學的主要成就，把“天元術”這一成就拓展為四元術。
朱世傑除繼承和發展了北方的數學成就之外，還吸收了當時南方的數學成就，比如各種日用、商用數學和口訣、歌訣等。
朱世傑在經過長期遊學、講學之後，全麵繼承了前人數學成果，既吸收了北方的天元術，又吸收了南方的正負開方術及通俗歌訣等，在此基礎上進行了創造性地研究，寫成以總結和普及當時各種數學知識為宗旨的《算學啟蒙》，又寫成四元術的代表作《四元玉鑒》，先後於1299年和1303年刊印。
《算學啟蒙》全書共3卷，20門，總計259個問題和相應的解答。這部書從乘除運算起，一直講至當時數學發展的最高成就“天元術”，全麵介紹了當時數學所包含的各方麵內容。
卷上共分為8門，收有數學問題113個。其內容為：乘數為一位數的乘法、乘數首位數為一的乘法、多位數乘法、首位除數為一的除法、多位除數的除法、各種比例問題如計算利息、稅收等。
其中“庫司解稅門”第七問題記有“今有稅務法則三十貫納稅一貫”，同門第十、第十一兩問中均載有“兩務稅”等，都是當時實際施行的稅製。
朱世傑在書中的自注中也常寫有“而今有之”、“而今市舶司有之”等，可見書中的各種數據大都來自當時的社會實際。因此，書中提到的物價包括地價、水稻單位麵積產量等，對了解元代社會的經濟情況也是有用的。
卷中共7門，71問。內容有各種田畝麵積、倉窖容積、工程土方、複雜的比例計算等。
卷下共5門，75問。內容包括各種分數計算、垛和問題、盈不足算法、一次方程解法、天元術等。
其中的主要貢獻是創造了一套完整的消未知數方法，稱為“四元消法”。這種方法在世界上長期處於領先地位，直至18世紀，法國數學家貝祖提出一般的高次方程組解法，才與朱世傑一爭高下。
《算學啟蒙》體係完整，內容深入淺出，通俗易懂，是一部很著名的啟蒙讀物。這部著作後來流傳到朝鮮、日本等國，出版過翻刻本和注釋本，產生過一定的影響。
《四元玉鑒》全書共3卷，24門，288問。書中所有問題都與求解方程或求解方程組有關。
比如，四元的問題有7問，三元者13問，二元者36問，一元者232問。可見，多元高次方程組的解法即 “四元術”是《四元玉鑒》的主要內容，也是全書的主要成就。
《四元玉鑒》中的另一項突出的成就是關於高階等差級數的求和問題。在此基礎上，朱世傑還進一步解決了高次差的招差法問題。這是他在“垛積術”、“招差術”等方麵的研究和成果。
這些成果是我國宋元數學高峰的又一個標誌。其中討論了多達四元的高次聯立方程組解法，聯係在一起的多項式的表達和運算以及消去法，已接近近世代數學，處於世界領先地位，比西方早400年。
《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數學名著，受到近代數學史研究者的高度評價。
美國科學史家薩頓稱讚說道：
是中國數學著作中最重要的一部，同時也是中世紀的傑出數學著作之一。
美國著名的科學史家薩頓評論說：
朱世傑是他所生存時代的，同時也是貫穿古今的一位最傑出的數學家。
如此之高的評價，朱世傑和他的著作都是當之無愧的。
朱世傑不僅是一名傑出的數學家，他還是一位數學教育家，曾周遊四方各地，教授生徒20餘年。並親自編著數學入門書《算學啟蒙》。
在《算學啟蒙》卷下中，朱世傑提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了《九章算術》的不足。
朱世傑處於我國傳統數學發展的鼎盛時期，當時社會上“尊崇算學，科目漸興”，數學著作廣為傳播。
總之，朱世傑在數學科學上，全麵地繼承了秦九韶、李冶、楊輝的數學成就，並給予創造性的發展，寫出了《算學啟蒙》、《四元玉鑒》等著名作品，把我國古代數學推向更高的境界，形成宋元時期我國數學的最高峰。
[旁注]
廣陵 就是現在的江蘇省揚州市。宋太宗時期，分全國為士、道，揚熙州屬淮南道。後又分全國為15路，揚州屬淮南路。宋神宗時期分淮南路為東、西兩路，揚州屬淮南東路。宋高宗南渡後，江都縣析出廣陵縣，揚州增領廣陵、泰興兩個縣。
市舶司 是我國古代管理對外貿易的機構。唐玄宗開元年間設置，一般由宦官擔任，是為市舶司前身。負責對外主要是海上貿易之事。唐代對外開放，外商來貨貿易，廣州等城市就成了重要通商口岸，國家在此設市舶司，或特派，或由所在節度使兼任。
[閱讀鏈接]
《算學啟蒙》出版後不久即流傳至朝鮮和日本。在朝鮮的李朝時期，《算學啟蒙》和《詳明算法》、《楊輝算法》一道被作為李朝時期選仕的基本書籍。
《算學啟蒙》傳入日本的時間也已不可考，日本後西天皇時在京都的一個寺院中發現了這部書，之後進行了幾次翻刻，對日本和算的發展有較大的影響。
《四元玉鑒》一書的流傳也曾幾經波折。日本數學史家三上義夫在其所著《中日數學之發展》一書中將《四元玉鑒》介紹至國外。
世界級數學大師梅文鼎
梅文鼎是清代初期著名的天文、數學家，為清代“曆算第一名家”和“開山之祖”。與英國的牛頓，日本的關孝和同稱為“世界科學巨擘”。
梅文鼎是一位自學成才的大數學家。他把中外數知識融會貫通，加以闡發，對我國後世數學的發展有很大影響。是我國近代數學的開拓者。
清代康熙帝是個熱衷於科技的皇帝，對科技領域的許多課題深有研究，而對科技人才更是極為重視。1705年，康熙帝於南巡途中3次召見梅文鼎，討論天文、曆算等學術問題。
康熙翻閱著梅文鼎的數學著作《方程論》，向梅文鼎笑道：“朕今日閑來無事，便看了你寫的《方程論》，此書明確提到‘形’和‘數’的觀點，先生且把這個論點細細解釋一番，朕想聽聽。”
梅文鼎想了想，回答道：“草民在《方程論》一書中按照‘形’和‘數’來區別數學對象。‘形’就是圖形的意思，也就是幾何學。‘數’即數量關係，是代數研究的內容。”
“而且，在數學的兩大範疇即‘量法’與‘算術’中，分別以勾股和方程最為重要。勾股是量法之極，方程是算術之極。”
康熙點點頭，笑道：“那你提到的‘幾何即勾股’的論點又該作何解釋呢？”
梅文鼎笑道：“回皇上的話，其實，中國古代的‘勾股術’是一切數學之本，一切幾何不論是平麵幾何、立體幾何，還是三角，乃至球麵三角都可以用傳統的勾股術來解釋，甚至可以用勾股術來統一整個幾何學。”
“在《幾何原本》一書中，我明確指出‘幾何即勾股’論的目的，就是用中國傳統勾股術包容西方的幾何學。”
康熙笑道：“你的觀點也有些道理，隻是以勾股術建構全部的幾何學，是不是太絕對了點？”
梅文鼎答道：“草民之前也覺得有些絕對，但通過對15個論題的證明過程來看，‘幾何即勾股’的概念還是能行得通的。”
康熙說道：“也罷，自圓其說是做學問的一重境界，也能祛除旁觀者的疑竇。但據朕所知，數學運算的規律很多，但有些規律的存在並不明顯，而人們大多知道，但卻無人去總結。其中最明顯的是‘乘法交換律’，聽聞先生第一個用明文形式將此定律表述出來。不妨說來聽聽。”
梅文鼎笑道：“‘乘法交換律’可這樣理解：‘實’是被乘數，而‘法’是乘數，分別用a、b表示，可寫成ab。‘實’、‘法’在乘法上可以互用，就是說‘實’可以當做乘數，而‘法’則可以當做被乘數，即ab等於ba。”
康熙輕輕品一口香茗，笑道：“確實如此。朕再補充一句。西法中所用之數學正如你所說主要是球麵三角法，明顯優於中法。球麵三角法應如何論述？”
梅文鼎垂首道：“草民略通一點。球麵三角形是由大圓的孤連接球麵上的三點所構成的三角形，因此，常用角度的單位表示。如同平麵三角形一樣，通常用字母A、B、C表示球麵三角形的3個頂點，或三角形的3個角，用a、b、c表示它們所對應的邊。”
“三條邊和三個角，合稱球麵三角形的6個元素。大角對大邊，大邊對大角。球麵三角形的內角之和大於180度，小於540度，其值的大小同三角形的麵積成正比。球麵三角形的邊和角之間存在一定的數量關係，並且許多天文問題，都通過解球麵三角形解決。”
康熙頷首道：“嗯。很好。咱們再說下圖解法。圖解法可用於代數和幾何領域。如今利用幾何圖形的變換可證明許多代數公式，比如勾股定理的計算公式等。那圖解法可否用於天文學領域呢？”
梅文鼎答道：“回皇上，這是可以的。草民曾把圖解法引入天文學的研究中，大量運用幾何圖形來解釋天文現象，幾何學方法成為天文研究的重要工具。可以這麼說，圖解法的運用大大拓寬了中華民族在科技領域的研究範圍，這是中西學術融會貫通的一大利好。”
康熙笑道：“先生所言非虛。當真不愧為一代科技宗師！”
梅文鼎見康熙以“科技宗師”這4個字來評價自己，不由的心頭一震，忙道：“草民惶恐。‘科技宗師’4字實在擔當不起。承蒙聖上不棄，得以在耄耋之年初見天顏，實慰平生所學。倘或不殫心竭慮於科技事業，當真是羞愧殘生。”