比如，四元的問題有7問，三元者13問，二元者36問，一元者232問。可見，多元高次方程組的解法即 “四元術”是《四元玉鑒》的主要內容，也是全書的主要成就。
《四元玉鑒》中的另一項突出的成就是關於高階等差級數的求和問題。在此基礎上，朱世傑還進一步解決了高次差的招差法問題。這是他在“垛積術”、“招差術”等方麵的研究和成果。
這些成果是我國宋元數學高峰的又一個標誌。其中討論了多達四元的高次聯立方程組解法，聯係在一起的多項式的表達和運算以及消去法，已接近近世代數學，處於世界領先地位，比西方早400年。
《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數學名著，受到近代數學史研究者的高度評價。
美國科學史家薩頓稱讚說道：
是中國數學著作中最重要的一部，同時也是中世紀的傑出數學著作之一。
美國著名的科學史家薩頓評論說：
朱世傑是他所生存時代的，同時也是貫穿古今的一位最傑出的數學家。
如此之高的評價，朱世傑和他的著作都是當之無愧的。
朱世傑不僅是一名傑出的數學家，他還是一位數學教育家，曾周遊四方各地，教授生徒20餘年。並親自編著數學入門書《算學啟蒙》。
在《算學啟蒙》卷下中，朱世傑提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了《九章算術》的不足。
朱世傑處於我國傳統數學發展的鼎盛時期，當時社會上“尊崇算學，科目漸興”，數學著作廣為傳播。
總之，朱世傑在數學科學上，全麵地繼承了秦九韶、李冶、楊輝的數學成就，並給予創造性的發展，寫出了《算學啟蒙》、《四元玉鑒》等著名作品，把我國古代數學推向更高的境界，形成宋元時期我國數學的最高峰。
[旁注]
廣陵 就是現在的江蘇省揚州市。宋太宗時期，分全國為士、道，揚熙州屬淮南道。後又分全國為15路，揚州屬淮南路。宋神宗時期分淮南路為東、西兩路，揚州屬淮南東路。宋高宗南渡後，江都縣析出廣陵縣，揚州增領廣陵、泰興兩個縣。
市舶司 是我國古代管理對外貿易的機構。唐玄宗開元年間設置，一般由宦官擔任，是為市舶司前身。負責對外主要是海上貿易之事。唐代對外開放，外商來貨貿易，廣州等城市就成了重要通商口岸，國家在此設市舶司，或特派，或由所在節度使兼任。
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《算學啟蒙》出版後不久即流傳至朝鮮和日本。在朝鮮的李朝時期，《算學啟蒙》和《詳明算法》、《楊輝算法》一道被作為李朝時期選仕的基本書籍。
《算學啟蒙》傳入日本的時間也已不可考，日本後西天皇時在京都的一個寺院中發現了這部書，之後進行了幾次翻刻，對日本和算的發展有較大的影響。
《四元玉鑒》一書的流傳也曾幾經波折。日本數學史家三上義夫在其所著《中日數學之發展》一書中將《四元玉鑒》介紹至國外。