1673年他被選為英國皇家學會會員，1700年當選為法國科學院院士，同年他創建了柏林科學院，並擔任第一任院長。
萊布尼茨對數學有極深的研究，不但獨立地創立了微積分，對數學的其它分支也作出過重大貢獻，對於笛卡爾的解析幾何提出了很多改進意見，對行列式和包絡理論做了很多基礎工作。牛頓的數學研究約始於1664年，那已經是他進入劍橋大學三年以後的事了。
主講數學的巴羅教授可以稱得上是為牛頓打開數學興趣之門的人。巴羅教授在當年被任命為第一任盧卡斯數學教授，牛頓正是通過他主講的數學課，產生了對數學的濃厚興趣。
為了深入了解天體的位置和觀察知識，牛頓有選擇地購買了《三角學》，為了了解其中對他來說還嫌晦澀的證明，他又係統地學習了歐幾裏德的《幾何原本》和巴羅教授所著的《歐幾裏德原本簡證》，其時受益匪淺。
在此之後，在巴羅教授的鼓勵和推動下，牛頓開始學習笛卡爾的《幾何》，這本書用了他相當長的時間去領會。
就這樣，在短短的幾年中，牛頓閱讀了大量的數學、哲學名著，大大地開闊了自己的視野，增長了知識。他對當時數學的兩大分支，幾何和代數領域的最新理論成就進行了充分的綜合與發展，進而作出了自己的發現。
牛頓自己曾經謙遜地說過：“如果說我比其他人看得遠些，那是因為我站在巨人的肩上。”
他從笛卡爾那裏得到了代數符號、各種概念和計算方法，從歐幾裏德和巴羅教授的著作中拿來了傳統的幾何證明方法。與在中學和劍橋大學所學的邏輯學相綜合，作出了許多偉大發現。
1664年至1665年間，牛頓根據瓦裏斯的極限概念和級數，發現了無窮級數。當年冬天，他又發現了在任一既定點上求曲線曲度的方法，以及化任意次方二項式為近似級數的方法。
到1665年年末，牛頓已經發明了流數和微積分，並給出了流數的表示符號。一份寫於1665年5月的手稿表明，牛頓在23歲時已經充分發展了微積分的主要原理，能夠用它找出任何連續曲線在任何給定點的切線和曲率。他稱他的方法為“流數法”，意即“流動”或變量及其“流率”或“增長率”。
微積分的發明結束之後，在1667年至1668年間，牛頓在數學領域上主要研究三次曲線的性質和分類，並提出一些有關的理論問題。
1669年，牛頓寫出了《論用無限項方程所做的分析》的長篇手稿，係統地總結他過去的流數和二項式定理的研究成果，當年6月，他將手稿交給巴羅教授，巴羅在以後給他的朋友——皇家學會圖書館館員科林斯的信中提到了牛頓的發現，稱讚他“對於這個問題（流數的發現）有傑出的才能”。
過了一個月，牛頓便將這篇論文郵寄給了科林斯，在抄錄了一份副本後，科林斯將論文退還給了巴羅教授，向他在歐洲各國的朋友通知了牛頓的發現。
1664年至1666年是牛頓在數學研究上的創作高峰期，但他並沒有像17世紀其它有所成就的科學家通常所做的那樣，把自己的研究成果通過正當渠道發表，而是將學習中的心得體會和研究成果直接寫在紙上、筆記上或賬本上。
這跟牛頓個人的性格有很大的關係，他十分內向，多慮，處處謹慎，從不肯多行一步路，多說一句話，這直接或間接地來源於他發表第一篇論文時所帶來的麻煩。就這樣，他隻是在自己覺得必要的時候，才向朋友、同行透露一點自己的研究情況。
大量事實也表明，在牛頓沒有正式出版自己的論著以前，他曾默許歐洲的一些科學家在極有限的範圍內抄錄、傳播、討論他的數學發現。這其中包括很多人，有皇家學會主席布朗克爾，秘書奧爾登伯格，英國的格裏高利，法國的布爾台、弗爾農和赫留斯，其中還包括當時德國著名的科學家、牛頓後來的死敵萊布尼茨。
1672年，萊布尼茨與惠更斯有了接觸，從而第一次對研究數學產生了興趣。在那以後，他主要研究用無窮級數求圓和其它曲線的麵積，並在1674年中考察了構成曲線的多邊形基元之和的一般方法，發明了微積分學。
1673年，萊布尼茨訪問倫敦，或者有機會在科林斯的論文中見到牛頓的包含流數原理的論文《論用無限項方程所做的分析》。
1676年，萊布尼茨再次來到倫敦，這時他還未當選皇家學會會員，通過科林斯和奧爾登伯格得知了牛頓有關流數的詳細情況。此後，他與他們開始頻繁通信，多次提到牛頓的數學發現，如“在給定任何曲線坐標的情況下，求出曲線的長度，圖形麵積，旋轉體的第二次分割及反求法，給出正方形內的任一弧線，不知道原圖形便可以計算對數、正弦、正切或餘弦及反求法”。
這時，萊布尼茨已經多多少少地了解了一些牛頓的發現，也曾給予很高的評價。
牛頓也曾以大量的篇幅給向他請教的萊布尼茨敘述了二項式定理的來源和方法，級數展開法，求拋物線麵積和用流數求一般曲線麵積法及切線的反求法。有理由相信，這一定會對萊布尼茨有所啟發。
1684年，牛頓在《學術學報》上發表了《求極大和極小及切線的一個新方法，它不受分數和無理數的妨礙並是這種情況的反常形式》，對對數進行了詳細的論述，並正式提出了微分原理。但他在此部分的任何地方都沒有提到過牛頓的名字，更不要說他的幫助或啟發了。
1686年，萊布尼茨根據積分與微分的對立，得出算法上也應為對立的結論，將微分的規則進行變換，從而得出了積分的規則。他還運用求極大、極小和切線的方法及無窮級數法，寫出了一篇奠定積分原理的論文，在《學術學報》上發表了，在這篇論文中，他第一次使用積分符號“∫”，至此，萊布尼茨完成了微積分的發明。
1665年5月牛頓形成了自己的流數思想和表示法，並在第二年10月給予係統闡述。而萊布尼茨是在1674至1676年間形成微分的思想和表示法。牛頓的論文發表於1669年和1671年初，而萊布尼茨的論文發表於1684年和1686年。
這就說明，牛頓確實要比萊布尼茨早發明微積分。發明的時間要早十年，而寫成論文則要早近二十年！讓牛頓震驚的是萊布尼茨發表的論文中絲毫沒有提及他的作用，而且一直以來，萊布尼茨都不承認曾經得到過牛頓的直接或間接的促使他發明微積分的幫助。
昨天還是虛心求教的摯友，今天搖身一變，竟然將自己的發現經過改頭換麵，變成了微積分的發明者！這就難怪牛頓要氣惱了。
他在《原理》第一版的第二卷中以三頁的篇幅說明流數原理，同時在注釋中提到萊布尼茨的發明係得益於自己的研究成果。此時他倆的關係還沒有完全破裂。
而他們的支持者也沒有想到要為各自的偶像搖旗呐喊。他們還是在通信，至少能夠承認對方的發明。但在1699年，這一切都改變了。
1699年，牛頓擔任造幣廠廠長之後，住在倫敦的瑞士數學家法蒂歐向英國皇家學會呈交一篇論文，文中提出牛頓是微積分“第一個發明者，並且領先了好幾年，而萊布尼茨這第二個發明者是否從別人那裏搞了什麼東西，我寧願有我自己的判斷”。
法蒂歐提出這個問題是由於他看到，萊布尼茨1684年和1686年在萊比錫的《學術學報》上，首次發表的關於微分原理和積分原理發明過程的文章中沒有提到牛頓的作用及其在多年前已經取得的成果。
早在1665年鼠疫期間，牛頓就已創立了微積分的一些基本原理，他稱為“流數術”，並且采用在字母上加符點的獨特記法，然而牛頓沒有對自己的發明及時公開。
1669年，牛頓寫出了第一篇數學論文《無窮多項方程的分析》闡述了論證還不嚴密的微積分基本定理，送給巴羅教授看，後來印成小冊子分送給朋友，直到1711年才正式出版。另外兩篇分別寫於1671年的《流數術和無窮級數》以及寫於1676年的《曲線求積法》的重要論文是分別於1736年和1704年才公開發表。
因此，牛頓公開發表他的微積分思想的最早著作是1687年出版的《原理》，但《原理》並沒有應用他自己發明的在字母上麵加符點的記法。他隻是用幾何形式初步說明了流數原理，用以確定無限小量的比。
因而隻從公開發表的時間來講，牛頓比萊布尼茨晚三年，但是要從發明的時間來看，牛頓比萊布尼茨要早十年。在這段時間裏，萊布尼茨曾經在1673年1月當選為皇家學會會員時訪問過英國，1676年10月第二次訪問倫敦，同柯林斯、奧爾登伯格等人均有過接觸，這一點被法蒂歐所懷疑，因而寫出這篇論文。