運用“四善”法提高數學解題能力
數學教學與研究
作者：桂有良
近幾年的高考命題，由知識立意向能力立意轉化，強調創新意識的考查，注重能力，強化數學思想與方法，注重知識的交彙，立意新穎、構思巧妙，體現思維的發散性.在數學解題中我們不僅要注重通解通法，而且要審準題意，善於捕捉有用的信息巧妙解題.這就需要我們平時花大量的工夫訓練.以下談談我的具體看法。
一、善於挖掘已知條件
在審題時，最忌諱的是不能準確地捕捉有用信息，以至於既浪費時間又解錯題目.因此善於挖掘已知條件就能很快找到準確的解題途徑.
例1：設O（0，0），A（1，0），B（0，1），點P是線段AB上的一個動點，=λ，若·≥·，則實數λ的取值範圍是（ ）
A.≤λ≤1 B.1-≤λ≤1
C.≤λ≤1+ D.1-≤λ≤1+
分析：此題很容易錯選為D.但仔細一點就會發現關鍵條件“點P是線段AB上的一個動點”，隱含了“0
例2：從一塊短軸長為2b的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊麵積最大的矩形，其麵積的取值範圍是[3b，4b]，則這一橢圓離心率e的取值範圍是 .
分析：此題之所以使很多同學苦惱，無法求出準確答案，就是因為沒充分注意“劃出一塊麵積最大的矩形”這一條件.此題由橢圓方程+=1的參數方程為x=acosαy=bsinα，
得矩形的麵積s=4acosα·bsinα=2absin2α，故最大矩形麵積為2ab.
∴3b≤2ab≤4b？圯≤≤，又e=1-，∴e∈，.
二、善於提出新解法
在解題中，常規解法固然重要，但適時提出新的解法，會讓人耳目一新，拓寬視野.
例3：是否存在實數a，使函數f（x）=x-2ax+a的定義域為[-1，1]，值域為[-2，2].若存在，求a的值；若不存在，說明理由.
分析：常規解法是直接討論對稱軸與定義域的位置關係，分類情況較多.
打破常規解法：∵f（x）=（x-a）+a-a，又函數f（x）值域為[-2，2].
∴a-a≤-2，從而a≥2或a≤-1.
當a≥2時，f（x）在[-1，1]上為減函數
∴f（-1）=1+3a=2f（1）=1-a=-2？圯a∈Φ
當a≤-1時，f（x）在[-1，1]上為增函數，
f（-1）=1+3a=-2f（1）=1-a=2？圯a=-1.
綜上a=-1.
由於第二種方法充分抓住了函數f（x）值域為[-2，2]這一條件，得出a≥2或a≤-1.從而減少了討論，優化了解題過程.
三、善於使用特殊方法
在數學解題過程中，特殊方法的使用可大大節約時間，達到事半功倍的效果.
例4：已知△ABC，若對任意tR，都有|-t|≥||成立，則△ABC（ ）
A.必為銳角三角形 B.必為鈍角三角形
C.必為直角三角形 D.形狀不能確定
分析：這道題要是按常規方法去算，好像不太好處理.因此聯想利用向量的幾何意義，就迎刃而解了.在高考中，總會有意無意地設置一些難度較高的試題，讓同學們處理.並不是每套都要使用常規的解題思路，有時隻需使用特殊值法或賦值的方法就能很快得到滿意的答案.
四、善於對知識進行遷移和拓展
在數學學習過程中，同學們在做習題的時候往往滿足於得到習題的答案，不太注重對習題的再思考，更談不上對數學知識的遷移與拓展.其實，對習題稍作變化再進行仔細思考、延伸和拓展，會大大提高數學解題能力.
例5：已知圓c：x+y-4x-2y+1=0，直線l：3x-4y+k=0，圓上僅有兩點到直線l的距離為1，則k的取值範圍是（ ）
分析：圓c：（x-2）+（y-1）=4，半徑為2，因為圓上僅有兩點到直線l的距離為1，可考慮到特殊的位置.圓心到直線的距離為1與圓心到直線的距離為3，這兩種情形的直線位置很特殊.以它們對應的直線的斜率為標準，很快就能得出答案C.進一步拓展條件為①圓上僅有一個點到直線的距離為1；②圓上僅有三個點到直線的距離為1；③圓上僅有四個點到直線的距離為1；④圓上不存在這樣的點到直線的距離為1的k的取值範圍分別是多少？這樣一延伸拓展，既激發興趣又提高數學解題能力.
總之，在平時學習數學的過程中，我們一定要做有心人，要善於挖掘已知條件，善於提出新解法，善於使用特殊方法，善於對知識進行遷移和拓展，這樣解題能力才能大大提高.