上麵的故事是人為杜撰的呢，還是真有其事？現在已無從得知。不過，抱有上述想法的，曆史上可不乏其人！大約在本世紀初，列寧格勒（舊稱彼得堡）出現過一本書名很怪的小冊子，叫做《彼得堡和莫斯科之間的自動地下鐵道，一本還隻寫成三章，未完待續的幻想小說》。作者在書中提出一個驚人的計劃：在俄國新舊兩個首都之間，挖一條600公裏長的隧道。這條筆直的地下通路，把俄國的兩大城市連接起來。這樣，“人類便第一次有可能在筆直的道路上行走，而不必像過去那樣走彎曲的路！”作者的意思是：過去的道路都是沿著彎曲的地球表麵修築的，所以都是弧形。而他設計的隧道卻是筆直的！不過作者寫書的主要意圖，還不在於考慮兩點間線段最短。而是這樣的隧道如能挖成，則有一種奇異的現象：任何車輛能像單擺一樣，在兩個城市間來回移動。開頭速度很慢，後來由於重力的作用，車速越來越快；接近隧道中點的地方，達到了難以置信的高速，而後逐漸減速，靠慣性行進到另外一頭。如果摩擦力可以忽略不計的話，走完全程隻需42分12秒！光沿短程線前進的性質，這是物理學家早就注意到的。如下圖，由A點射出的光線，通過l上的點C反射到B點，則由入射角等於反射角推知，C點即線段A′B與l的交點。這裏A′是A關於直線l的對稱點。容易證明，對於l上的另一點C′，必有AC′+C′B>AC+CB，事實上AC+CB=A′C+CB=A′Bc時，ANG>AMG，說明蜘蛛應當沿折線AMG爬行，才能最快抓到蒼蠅；反之，則必須沿折線ANG爬行！另一個類似的趣題：蒼蠅為了防止蜘蛛的襲擊，而想爬過長方體所有的六個麵探查一下，並盡快地返回原地。那麼蒼蠅至少要爬行多長的路？這個問題的結論不太容易想到。從下麵的展開圖中可以看出，蒼蠅爬行的路線應當是一條過G點而又平行於圖中虛線AA的線段（為什麼？請讀者想一想）。容易算出，這條線段長為2（a+b+c）。這個量與蒼蠅原先所在位置無關（為什麼？）。
很明顯，對於可以展成平麵的曲麵，曲麵上的短程線問題，都可以用類似上麵展開的方法加以解決。右圖的圓錐曲麵就是一個例子。
然而，並非所有的曲麵都能展開成平麵。
我們最常見的球麵，其任何一小部分，都不可能毫無重疊或破裂而展成平麵。這就是無論哪一種地圖，總不可避免地要產生變形的原因，沒有一點畸變的地圖根本不存在！這樣，當你翻開一張地圖細心觀察時，你便會發現一個有趣的現象，圖上畫的航線幾乎都是一條條弧線。這才是真正的球麵短程線--大圓弧線。而圖麵上看起來是直的線，實際上隻是保持與經線等角的斜航線。
抽簽之謎
班級決定舉行法律知識競賽，各小組出一名代表參加。為了檢查基本法律知識的普及麵，規定全班同學都做準備，賽前由各小組用抽簽的方式，隨機決定參賽人選。
比賽定在下午舉行。上午放學路上，小聰、小明和小花三個同組的同學走在一起，邊談邊議著下午競賽的事。小朋對小聰說：
“你們比我們準備得都要充分，下午抽簽你就先抽吧！”“這跟抽簽先後有什麼關係？”“啊！怎麼沒關係！先抽的人當然要比後抽的人抽到的機會要大。”“這也不一定！”在一旁聽他們爭論的小花冷不防插了一句。
“怎麼會不一定！”小明急忙辯解，“第一人抽的時候，無論如何做記號的簽紙還在，假如這張紙被第一個人抽去了，那後麵的人就根本不用抽了”。
小明一邊對小花說著，一邊目光頻頻朝小聰看，似乎在尋找支持者。不料小花不甘示弱，語出驚人，說出了一番頗有份量的話：
“我看後抽的人抽到的可能性更大。比如我們組有十個人，做記號的簽條隻有一張，因此第一個抽到的可能性是十分之一。由於110的概率是很小的，所以第一個人一般是難於抽到的。但對第二個人來說，這時隻剩下九張簽紙，其中包含了一張做有記號的，因此他抽到這張簽紙的可能性是九分之一。這比第一個抽到的十分之一可能性要大些。
如果前九個人都沒有抽到的話，那麼最後一個人抽到有記號簽紙就是必然的了，這時抽到的概率還等於1呢！可不是！”小明被小花一番有板有眼的話說得語塞，一時想不出什麼更有力的論據，隻是懷疑地反問：
“你說的都是別人抽不到有記號的簽，如果別人抽到了呢？”這時，剛才一直在思考的小聰，出乎意料地半路殺出一種觀點來：“我看所有人抽到有記號的簽的機會是一樣的！”“怎麼？一樣？”小明和小花異口同聲地驚呼！這的確有點使人難以置信。小明一向佩服小聰，知道他沒有相當把握是不會輕易作結論的，但這時也不禁滿腹狐疑：