這個樵夫發現大敦穴的過程，就是采用了不完全歸納法。
我們知道，歸納推理是從特殊性的前提，推出一般性結論的一種推理方法，也就是從特殊到一般的推理方法。歸納推理又分為不完全歸納法和完全歸納法。
不完全歸納法是從一個或幾個（但不是全部）特殊情況出發，得出一般性結論的歸納推理，在日常生活中及數學中經常用到這種方法。
比如，人們通過實驗，發現金能導電、銀能導電、銅能導電、鐵能導電、鉛能導電……而從來沒有發現不導電的金屬，於是，人們便作出結論：一切金屬都能導電。這種推理方法就是不完全歸納法。
又如，探求多邊形的內角和公式時，先通過對四、五、六邊形的研究，尋求規律，進而歸納出多邊形的內角和公式。
在求四邊形的內角和時，引它的一條對角線，則四邊形被分成兩個三角形，於是得到四邊形的內角和為（4-2）×180°=360°在求五邊形的內角和時，從它的一個頂點引出兩條對角線，則五邊形被分成三個三角形，於是得到五邊形的內角和為（5-2）×180°=540°在求六邊形的內角和時，從它的一個頂點引出三條對角線，則六邊形被分成四個三角形，於是得到六邊形的內角和為（6-2）×180°=720°……
一般地，當多邊形的邊數為n時，它的內角和為（n-2）×180°這種推導多邊形內角和公式的方法也是不完全歸納法。
我們再來看一個例子：
先觀察幾個式子：
1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52……
這裏有什麼規律呢？我們看到，等式的左邊是從1開始的連續奇數的和，等式的右邊是一個完全平方數，左邊有幾個奇數，右邊就是奇數個數的平方。
由此總結出：
1+3+5+…+（2n-1）=n2n個奇數這種總結規律的方法采用的也是不完全歸納法。
鳧雁相逢
小學數學課本中的行程問題分成兩大類，一類是“相遇行程問題”，一類是“追及行程問題”。運用行程問題的原理可以解決許多數學問題，如工程問題、行船問題和工作問題。但是你知道世界上是哪個國家係統而全麵地研究這個問題嗎？實際上，我國是世界上最早研究和使用行程問題的原理及用這個原理來解決實際生產和日常生活有關問題的國家。
早在距今一千九百多年前，我國東漢初期成書的《九章算術》中就有關於“相遇行程問題”的記載。該書第六章第二十題“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今鳧雁俱起，問何日相逢？”題中，鳧是一種能飛的野鴨；鳧雁俱起就是一齊起飛。
解：設南海經至北海路程為整體“1”。鳧飛完全程需七日，每日飛全程的“1÷7=17（即鳧速度）；雁飛完全程需九日，每日飛全程的”1÷9=19（即雁速度）。
今鳧、雁俱起幾日相遇？1÷（17+19）=1÷1663=31516答：鳧雁31516日相遇。
洛書的神幻
將1～9九個數填在下麵的空格中，使每行、每列、每條對角線上三個數的和都相等。
這是一個古老的數學問題，在我國古代稱為“九宮算”、“縱橫圖”。在國外稱它為“幻方”或“魔方陣”。它還聯係著一個古老的傳說。
公元前二千多年，那時我國大地上洪水泛濫。人們無法生活，有個叫夏禹的為大家治水。據說當時從洛水中浮起一隻大烏龜，背上有著奇特的圖案。夏禹根據這個圖案的啟示終於治水成功。後來人們把這個圖案稱為“洛書”，長期來人們對它感到神幻莫測，實際上這是上麵提出的將1～9九個數填入九個空格中的數學題。
那麼，怎麼填這九個數？宋代著名數學家楊輝提出一種解法，這種解法可以簡單地歸納成四句話：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維突出”。意思是先將1～9九個數依次斜排，然後將（1）與下（9）對調，左（7）與右（3）對調，再將四麵中間的數（2、4、6、8）向外挺出就成功了。
除此之外，還有三階、四階……