兔子繁殖
大約很少有人在欣賞一株枝葉茂盛、婀娜多姿的樹木時，會關心到枝丫的分布。但生物家和數學家都注意到了這一點。由於新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而後才能萌發新枝。所以他們設想：一株樹苗在一年以後長出一條新枝；第二年新枝休息，老枝依舊萌發；此後，老枝與休息過一年的枝同時萌發，當年生的新枝則次年休息。這個規律在生物學上稱為“魯德維格定律”。
根據魯德維格定律，一株樹木各個年份的枝丫數，依次為以下一列數：
（1），1，2，3，5，8，13，21，34，……
上麵的數列淵源非常悠久。公元1202年，商人出身的意大利數學家斐波那契（Fibonacci，1170～1250），完成了一部偉大的論著《算法之書》。這部中世紀的名著，把當時發達的阿拉伯和印度的數學方法，經過整理和發展之後介紹到歐洲。
在斐波那契的書中，曾提出以下有趣的問題：
假定一對剛出生的小兔一個月後就能長成大兔，再經過一個月便能生下一對小兔，並且此後每個月都生一對小兔。一年內沒有發生死亡。問一對剛出生的兔子，一年內繁殖成多少對兔子？逐年推算，我們可以得到前麵提過的數列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。這個數列後來便以斐波那契的名字命名。數列中的每一項，則稱為“斐波那契數”。第十三位的斐波那契數，即為一對剛出生的小兔，一年內所能繁殖成的兔子的對數，這個數字為233。
從斐波那契數的構造明顯看出：斐波那契數列從第三項起，每項都等於前麵兩項的和。假定第n項斐波那契數為un，於是我們有：
u1＝u2＝1un+1=un+un-1（n≥2）通過以上的遞推關係式，我們可以算出任何的un，不過，當n很大時遞推是很費事的，我們必須找到更為科學的計算方法！為此，我們先觀察以下較為簡單的例子。
在《大數的奧林匹克》一節，我們講過一個關於“梵天預言”的故事。現在我們假定按“梵天不渝”的法則，完成n葉金片的搬動要進行un次動作。那麼，要完成n+1葉金片的搬動，可以通過以下的途徑達到：先把左針上的n葉金片，通過un次動作搬到中間針；再把左針上的第n+1葉金片搬到右針上去；最後再通過un次動作，把中間針上的n金片搬到右針上去。這樣，實際上已將n+1葉金片從左針搬到右針，從而上述的動作總數等於un+1。這就是說，我們有：
u1=1un+1=2un+1（n≥1）下麵我們通過上述遞推關係來直接推導un。
注意到un+1+1=2（un+1）令vn=un+1則v1=2vn+1=2vn（n≥1）數列｛vn｝是一個首項為2，公比也為2的等比數列。易知：
vn＝2·2n-1＝2n從而un=vn-1=2n-1由此可知，梵天要求搬完64葉金片需要做的動作為（264-1）次。如果完成每個動作需要一秒鍾的話，則需大約5800億年！這個數字大大超過了整個太陽係存在的時間，所以梵天的預言真可謂“不幸而言中”！不過，我們完全不必“杞人憂天”，整個人類的文明社會至今也不過幾千年，人類還遠沒有到達需要考慮這個問題的時候！現在我們回到斐波那契數列上來。受“梵天預言”例子的啟發，我們試圖從等比數列1，q，q2，q3，…，qn-1，…
中尋求滿足遞推關係un+1＝un+un-1的解答。
令qn＝qn-1+qn-2（n≥2）因q≠0，解得：
q1=1+52q2=1-52現令un＝aq1n-1+βq2n-1u1＝u2＝1立知α＋β＝1α1+52+β1-52=1解得α=151+52β=-151-52從而un=151+52n-1-52n以上公式是法國數學家比內首先證明的，通稱比內公式。令人驚奇的是，比內公式中的un是以無理數的冪表示的，然而它所得的結果完全是整數。不信，讀者可以找幾個n的值代進去試試看！斐波那契數列有許多奇妙的性質，其中有一個性質是這樣的：
u2n-un+1·un-1＝（-1）n+1（n＞1）其實，讀者隻需看看下式便會明白。
u2n-un+1·un-1＝u2un-（un+un-1）·un-1=-u2n-1+u2n-un·un-1=-u2n-1-un（un-un-1）=-u2n-1-un·un-2）=……
=（-1）n（u22-u3·u1）=（-1）n+1斐波那契數列上的上述性質，常被用來構造一些極為有趣的智力遊戲。美國《科學美國人》雜誌就曾刊載過一則故事：
一位魔術師拿著一塊邊長為13英尺的正方形地毯，對他的地毯匠朋友說：“請您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長21英尺，寬8英尺的長方形地毯。”這位匠師對魔術師算術之差，深感驚異。因為兩者之間麵積相差達一平方英尺哩！可是魔術師竟讓匠師達到了他的目的！這真是不可思議！親愛的讀者，你猜猜那神奇的一平方英尺跑到那兒去呢？需要告訴讀者的是，類似的智力問題還可以構造出很多很多，這隻要把上題中的長方形邊長和正方形邊長，換成連續的三個斐波那契數就行！道理就是前麵提到過的那個式子。