有關斐波那契數列的趣題實在不少，有興趣的讀者不妨試試找找看！
墨比烏斯環
現在，我們通過一個有趣的問題，來介紹墨比烏斯環。
某個地區有三個村莊和三個學校，現在要從每一個村莊到三個學校各修一條路，能不能使這些路互不相交呢？每個村莊要修三條路通向三個學校，所以總共得修3×3＝9條路。左圖畫出了八條路，要修第九條路就不可能了。
你可以再試試，我斷定你也會失敗的。為什麼呢？歐拉公式n-m+p=2可以說明這一點。
假定你竟把這九條路都修好了，那麼，每個村莊和每個學校，就相當於一個頂點（n），每一條路就相當於一段邊界（m），道路之間的土地就相當於分成若幹個國家（p）。因為有九條路、六個頂點，所以根據歐拉公式，6-9+p=2，得p=5，就是說有五個國家。
從一個村莊出發，隨便走一段路，就會到達一個學校；再走一段路，就會到達另一個村莊；再走一段路，又會到達另一個學校。總之，走三段路是不會回到原地的，也就是說，三段邊界圍不出一個國家。可見每個國家都至少有四段邊界。
我們知道，每一段邊界兩側各有一個國家，九條邊界兩側共有十八個國名。現在，每一個國家至少有四段邊界，18÷4=45，而國家的數目不可能出現小數，所以國家至多是四個。
這裏說國家至多是四個，前麵根據歐拉公式算出來，國家必須有五個，不就矛盾了嗎？這隻能說明開始的假定是不合理的，也就是說，你不可能按題目提出的要求把路修好。
這種在地麵上不可能完成的修路計劃，在特殊的曲麵上倒是可以完成。把n=6、m=9、p=4代進歐拉公式6-9+4=3-h，得h=2。
這說明在連接數是2的曲麵上，就可以修好這樣的九條路。墨比烏斯環正是一種連接數是2的曲麵。
什麼是墨比烏斯環呢？把一個長的紙條，扭轉180°，把兩端粘在一起，就成了一個墨比烏斯環。
你把墨比烏斯環沿中線剪開。不要以為這樣一剪，環就分成了兩個。它仍舊是一個紙環，當然大了一倍，仔細檢查一下，它扭了360°。
剪了一圈，它沒有分成兩片，可見它的連接數至少是2。
如果用剛才的辦法，再沿中線剪一圈，紙環分成互不相聯的兩個環，雖然它們互相套著。這說明墨比烏斯的連接數不是3，隻可能是2。
現在我們就來看一看，怎樣在連接數是2的墨比烏斯環上安排那九條路。
用一個透明的紙來做一個墨比烏斯環。如果你用的紙不是透明的，那就要正反兩麵都畫好，粘好之後，你就會得到一個修路的方案。
墨比烏斯環有許多有趣的性質。它沒有正反兩麵，換句話說，你沒有辦法把它一麵染成藍的，一麵染成紅的。不信你就試試看。它沒有上下兩個邊，換句話說，你沒有辦法把它的一個邊染成紅的，另一個邊染成藍的。不信你就試試看。
在墨比烏斯環上畫地圖，根據前麵所說的原則染色，需要五種顏色。你不妨試試看。
還有一個有趣的問題，也是在平麵上辦不到，而在墨比烏斯環上可以辦到。這個問題是：有個地區有五個村莊，在每兩個村莊之間修一條公路，能不能使這些公路都不相交？現在要上一個八級樓梯，規定每次隻能上一階樓梯或上二階樓梯，問可能有多少種不同的跨法？解決這個問題，先從最簡單的情況入手，從中尋求規律。
假如樓梯隻有一階，那麼隻有一種跨法；假如樓梯有二階，那麼有兩種不同的跨法；假如樓梯有三階，那麼有三種不同的跨法；假如樓梯有四階，那麼有五種不同的跨法；觀察得到的幾個數：
1，2，3，5顯然，它們是斐波那契數列的前幾個數，後幾個數應是：
1，2，3，5，8，13，21，34因此，當上八階樓梯時，應有34種不同的跨法。
四色問題
在有關地圖的各種問題中，最使數學家感到困難和興趣的，要數四色問題了。
四色問題是怎麼回事呢？找一張全國地圖，你看河北省染成了粉紅的顏色，河南省染成了米黃的顏色，……為什麼要這樣染顏色呢？當然不是因為河北省這塊地方是粉紅色的，或者河南省這塊地方是米黃色的。
地圖上染的顏色和地麵上天然的顏色並沒有什麼關係。地圖染顏色，隻不過為了醒目，看起來清楚一些。要是把一張全國地圖全染成粉紅色，你要找出河北省和河南省的分界線就困難了。
當然，也不必把每一個省都染成不同的顏色。相距較遠的省，即使染成了相同的顏色，也不影響我們看地圖。我們隻要掌握一條染色原則：相鄰的省要染上不同的顏色。
那麼，我們至少要準備幾種顏色呢？為了回答這個問題，我們先做一個試驗。
拿一張沒有染色的中國地圖來。再準備一盒顏色鉛筆。
我們從左上方開始吧。
你看，新疆、青海、甘肅三個省，它們兩兩相鄰。根據前麵說的原則，它們的顏色都不能相同。因此，你馬上就得用到三支顏色鉛筆。比如說，甘肅染紅色，青海染黃色，新疆染綠色。
好。為了節約顏色，盡可能隻用這三種顏色，你現在把這三支顏色鉛筆留在桌上，把其他的筆收起來。看看隻用這三支筆，能不能把全國各省，都按染色原則染上適當的顏色。