先看西藏。它一邊挨著新疆，所以不能染綠色；它又挨著青海，所以不能染黃色；隻剩下一支紅鉛筆可用了。我們隻好把西藏染成紅色。
四川呢？它和青海、西藏相鄰，所以不能染成黃的或紅的，隻好染成綠的。
這樣下去，陝西隻好染成黃的，寧夏隻好染成綠的。
好。山西應染成綠的，河南應染成紅的。
湖北怎麼辦？它的周圍已經有河南、陝西、四川染了顏色，黃、紅、綠都有，你隻好再從鉛筆盒中拿出一支別的鉛筆，比如說藍的來染湖北省了。
你也許會問，把河南、陝西、四種各省的顏色重新安排一下，能不能就不必拿出藍鉛筆來呢？這是不可能的。前麵已經說過，那些已經染過顏色的省，它們染什麼顏色並不是任意選擇的，隻要新疆、甘肅、青海三個省的顏色確定了，四川、陝西、寧夏、山西、河南等省的顏色就成了定局。
當然，甘肅、青海、新疆三省的顏色可以隨便換。比如說，甘肅用黃的，青海用綠的，新疆用紅的。那就會得到另一張顏色地圖，這時，西藏也就改成了黃的，四川改成了紅的，……
結果呢？到了要染湖北的時候，你還是得用第四種顏色。
換個說法就更清楚了。如果隻用三種顏色，那麼不管甘肅、青海、新疆染成什麼顏色，西藏必須染甘肅的顏色，四川必須染新疆的顏色，陝西必須染青海的顏色，寧夏必須染新疆的顏色……結果是到了染湖北的時候，就會發現甘肅的顏色、新疆的顏色、青海的顏色都不能用了。怎麼辦呢？隻好用第四種顏色了。
要不破壞前麵所說的染色原則，用三種顏色是不可能的。現在有了四種不同顏色的鉛筆可用，我們就有了很大的活動餘地了。
你不妨再多試幾張地圖，甚至可以隨便畫一個地圖，不論它有多少個地區，你總可以用四種顏色把它染好。當然，有的地圖碰巧用三種顏色就可以了；有的也許比較難，要經過多次試驗才能成功。但是有一條是肯定的，古今中外的一切地圖，都可以用四種顏色來染色，而不破壞染色原則。
在古今中外的地圖中沒有碰到過例外，並不是永遠不可能碰到例外。誰也不能保證不會發生這樣的事：有一天，突然有人畫出一張地圖，這個地圖非用五種顏色來染色不可。
分配鑰匙
重要的東西放在櫃子裏，往往要上鎖。
要是兩個人共同保管一櫃子重要東西，為了慎重，就放上兩把鎖，兩人各拿一把鎖的鑰匙。
這樣，隻有兩人同時在場，才能打開。
要是三個人共同保管，並且規定：隻要兩人在場，便可以打開櫃子，而一個人是打不開的，應當怎麼辦呢？容易想到：可以用三把鎖，每人拿兩把鑰匙。甲、乙、丙三個人，A、B、C三把鎖，甲拿A、B的，乙拿A、C的，丙拿B、C的。這樣，誰來了也不能開三把鎖，可是任意兩個人來，就可以了。
更複雜一些，一個辦公室有四個人，規定夠三個人才能開那個文件櫃，那麼，至少要用幾把鎖？鑰匙又應當怎樣分配呢？也許你會說，這還不簡單，三個人用三把鎖，四個人用四把鎖好了。每人拿三把鑰匙，不就可以了嗎？仔細一想，不行。四人當中，誰也不能拿三把鑰匙。要是甲拿了三把，而第四把在乙手裏，豈不是甲、乙兩人就把門開了嘛。
類似的道理，誰也不能隻拿一把。
既然誰都不能拿一把或者三把，那就隻剩下每人兩把這一種可能了。每人兩把行不行呢？要是甲拿到一、二兩把，那麼，另外三人，誰也不能同時拿三、四兩把；不然，兩個人就把櫃子打開了。所以，在乙、丙、丁三人中，一定有人同時拿到一把鎖的兩把鑰匙。這樣，另外三人就開不開櫃子。因為他們手裏，都沒有那把鑰匙。
五把鎖呢？可以證明，五把也不行。想實現提出的要求，至少要六把鎖，鑰匙的具體分配方案是：
甲：1、2、3；乙：3、4、5；丙：5、6、1；丁：2、4、6。
直線分割圓麵
一個圓麵，如果用一條直線來分割它，顯然它被分成兩部分；如果畫兩條直線，那麼圓麵最多被分成四部分。如果要問：在圓麵上畫十條直線，圓麵最多被分成多少部分？這時再用觀察和實驗的方法就十分困難了。用什麼辦法解決這個問題呢？那就需要探索其中的規律。
先從最簡單的情況實驗起：
用一條直線分割圓麵，圓而被分成兩部分；用兩條直線分割圓麵，圓麵最多被分成四部分；用三條直線分割圓麵，圓麵最多被分成七部分；用四條直線分割圓麵，圓麵最多被分成十一部分：
我們分析以上的幾個結果：
S1＝2＝1＋1S2＝4＝1＋1＋2S3＝7＝1＋1＋2＋3S4＝11＝1＋1＋2＋3＋4發現圓麵被分割成的部分是由兩部分組成的：一部分是1，另一部分是若幹個從1開始的連續自然數的和，最後一個加數恰好等於所畫直線的條數。
了解了這個規律，求直線分割圓麵時，就可以應用這個規律，而不再去實驗。
比如，用五條直線去分割圓麵，那麼圓麵最多被分割成S5＝1＋1＋2＋3＋4＋5=16個部分。
當用十條直線去分割圓麵，那麼圓麵最多被分割成：
S10＝1＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=56個部分。