狼羊渡河
學會在一張複雜的圖上找出最好的一條路，往往可以幫我們解決許多問題。比如，一個人帶了一隻狼、一隻羊和一筐白菜，要過一條河。可是船太小，一次隻能帶一樣東西過河。如果他不在，狼要吃羊，羊要吃白菜。問他應該怎樣擺渡？這個問題，就可以轉化成為在圖上找出一條道路的問題。
為了簡便起見，我們用R、L、Y和B表示人、狼、羊和白菜。R、L、Y、B最初都在河的這邊，用RLYB表示。如果人把羊帶到對岸，留在河這邊的狼和白菜用LB表示，並且把RLYB畫一個箭頭指向LB。O表示河這岸什麼也沒有了。
從上圖可以看出兩種解決方案：
RLYB→LB→RLB→B→RYB→Y→RY→O；RLYB→LB→RLB→L→RLY→Y→RY→O。
用話來說，前一個方案是：
1，把羊帶到對岸（這岸剩下LB）；2，人回到這邊（這岸變成RLB）；3，把狼帶到對岸（這岸剩下B）；4，把羊帶回來（這岸變成RYB）；5，把白菜帶到對岸（這岸剩下Y）；6，空人回到這岸（這岸變成RY）；7，把羊帶到對岸（這岸成為O）。
一則廣告
這天，智慧哥哥與聰聰出去玩，走在街上，一則廣告吸引了聰聰：
好消息空瓶換酒為方便顧客，三個空啤酒瓶可換一瓶啤酒。
本店啟“嘿，真新鮮，空啤酒瓶可以換啤酒。”想到愛喝啤酒的爸爸，聰聰對商店的這條措施讚賞極了。
智慧哥哥也覺得這條廣告挺有意思。他想了想後問聰聰：“如果有10個空瓶，能夠換到幾瓶酒呢？”“能換3瓶酒。”聰聰不假思索，脫口而出，他覺得這個問題太簡單了，3個空瓶換1瓶酒，9個空瓶換了3瓶酒，還剩下一個空瓶就是了。
智慧哥哥衝他搖搖頭，說：“你好好想想。”聰聰想了一會兒又說：“可以換4瓶酒。”智慧哥哥讓他說說理由，聰聰說：“有10個空瓶，先用9個換回3瓶酒，還剩下1個空瓶。酒喝完後再用3個空瓶去換一瓶酒，因此可以換到4瓶酒。”智慧哥哥說，還可以多換，並提示聰聰說：“如果把換回的第四瓶酒也喝完了，還有幾個空瓶呢？”“還有兩個空瓶。”聰聰回答。
“這兩個空瓶能不能利用呢？”智慧哥哥問。
聰聰驀地想到，有一次生病，想喝汽水，商店裏賣汽水卻一定要收瓶，否則不許帶走。媽媽跟鄰居借了一個空瓶買回汽水，喝完又把空瓶還給鄰居家。這件往事啟發了聰聰。
聰聰說：“再跟朋友借一個空瓶，這樣就可以湊足3個空瓶，換回1瓶酒，酒喝完後再把空瓶還給人家。這樣用10個空瓶就可以喝到5瓶酒了。”智慧哥哥說：“其實，道理很簡單，你看。”說著，寫出兩個式子：
3個空瓶=1瓶酒=1個空瓶+1瓶的酒，2個空瓶=1瓶的酒。
“因此，10個空瓶的價值應該相當於不包括瓶的5瓶酒。”“原來是這樣，真有意思。”聰聰說。
同一天過生日的人
在研究組合問題時，我們有一些最基本的原理，其中最重要的是抽屜原理。抽屜原理也稱為鴿洞或鴿籠原理，它非常簡單，但是卻很有用處。
鴿籠原理最簡單的形式是這樣的，如果要把n+1隻或更多的鴿子放進n個鴿籠子裏，那麼至少有一個鴿籠中有兩隻或兩隻以上鴿子。值得注意的是，把n+1隻鴿子放進n個籠子裏的辦法有許多，我們可以把n+1隻鴿子都放在一個籠子中，也可以每個籠子放一隻，最後一個籠子放兩隻。因此，我們的興趣不在於怎樣放法，而是用來證明一些情況的存在性。例如，一個生日宴會上有400人參加，那麼一定有不少人同一天過生日，因為一年有365或366天，但是究竟這400人都是一天過生日，還是沒有一個當天過生日（假定過生日的主人不在400人之內），鴿洞原理並不能判斷。這個看來用處不大的原理能解決不少問題。舉例講，一個邊長為1的正方形內最多能找到幾個點，使這些點之間的距離大於12。碰到這類問題，雖然可以湊出來答案，但是要嚴格證明，卻需要鴿洞原理。方法是把正三角形三邊中點作一個小的正三角形，這樣正三角形分成四個小三角形，這四個小三角形中點的關係有兩方麵：
（1）如果兩個點在不同的小三角形中，則這兩點的距離可能大於12，當然也可能等於或小於12。
（2）如果兩個點在同一個小三角形中，則這兩點的距離一定小於12。
現在我們有4個小三角形，如果有5個點，那至少有一個小三角形中有兩個點，它們之間距離小於12。因此，我們在正三角形之內最多隻能找到4個點它們彼此之間的距離大於12。
同樣在這個正三角形中，最多找到9個點，它們彼此之間距離大於13，類似我們還可以解決更一般的問題。
都認識或都不認識
拉姆賽是位英國的天才科學家，他隻活了26歲，卻對數理邏輯和經濟學做出不可磨滅的貢獻。而作為研究邏輯的副產品，以他命名的拉姆賽理論已成為組合理論乃至數學的一個重要分支，在各個領域特別是計算機科學中有著重要應用。
拉姆賽的出發點非常奇特，看起來同數學沒什麼關係。任何一個集會，聚會或者宴會，參加者都是四麵八方來的人，兩人可能相互認識或相互不認識。拉姆賽的定理是講，如果集會的總人數等於或超過6個人，那麼其中至少有3人，這3個人互相都認識或者都不認識。但是如果人數少於6人，則這種情況不一定出現。