可是，聚集在畢達哥拉斯周圍的年輕人很少隻是學習科學。他們很快就介入島上的政治生活，而置薩莫斯島的獨裁者波利克拉特的態度於不顧。“獨裁者”這個詞，在當時還沒有它後來所獲得的基本意義。當時的獨裁者通常是普通市民，也就是人民利益的代表，因此是反對貴族的。畢達哥拉斯的門徒們的貴族傾向不合波利克拉特的意，他們的學校很快就被搗毀了。神秘數學的信徒們連同他們超人的老師一起，被迫從島上逃跑了。他們很可能是沿著整個地中海遷移。他們大部分定居在被稱為偉大國家的希臘。亞平寧半島的南部和西西裏島也因此而獲得了偉大的稱號。畢達哥拉斯本人定居在塔連特，他在那裏又當上了校長。年輕人又像在薩莫斯那樣聚集在他的周圍，可是，這所學校遭到了和薩莫斯島上的那所學校同樣的命運。畢達哥拉斯遷移到科羅多尼，又從那裏跑到米太旁登，他80歲或者90歲時，死於米太旁登街道上的一次夜間搏鬥之中。
畢達哥拉斯學派特別喜愛的數學領域之一是數論。當時，吸引他們的乃是數的某些符合他們帶有東方神秘色彩的神秘哲學的性質。
畢達哥拉斯學派認為，世界上的一切都服從於整數的比數所服從的那樣的規律。他們發現，在用力相等的情況下，弦長的比數等於像2∶3、3∶4等等自然數的比數時，各弦就同時發出諧音。他們把這種局部的現象推及到整個宇宙。這樣，按照他們的學說，地球、月亮、當時已知的所有的行星以及太陽都圍繞著某個中心火球的球麵旋轉。這些球麵的半徑同樣也有和發出諧音的弦長那樣的比數。任何可以列舉出來的宇宙中的物體，在其運動時似乎也都發出這樣的諧音。
盡管畢達哥拉斯學派的宇宙構造論帶有神秘的性質，盡管畢達哥拉斯學派所指的這個中心不是太陽，而是某個不存在的中心火球，但地球圍繞著某個中心旋轉的思想卻是正確的。
畢達哥拉斯學派把所有的整數分為善的和惡的兩種。奇數為善的，偶數為惡的。單位數1被認為既是善的又是惡的開始，因為善的奇數加上它就變成為惡的數，而惡的偶數加上它就變成為善的奇數。
畢達哥拉斯學派思想中的許多東西在數學中得到了進一步的發展。從畢達哥拉斯學派所研究的數論中自然提出了許多問題，由此導出了非常重要而又難以得到的結果。
也就是在畢達哥拉斯學派正陶醉於這種宇宙的整數諧音的時候，他們發現，原來還有一些不能寫成整數的比數的數。例如，2就是這樣一個數。這使他們如聞霹靂，大為震驚。
為了回答這個問題，我們還是回到畢達哥拉斯定理上來。我們不禁想到，一個直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。這裏，我們會取一個每條直角邊都等於1的等腰直角三角形。那麼，根據上述定理，斜邊的平方等於2，因此斜邊本身等於2。但是，2不可能寫成兩個整數的比數。今天，都知道這個數是無理數。畢達哥拉斯學派自己顯然沒有明確的無理數的概念，但是他們發現了這樣一個事實，就是有些線段的長度無法使它們和整數的比數相等。這一發現從根本上和他們的“整數”哲學相抵觸。他們怎麼辦呢？除了他們心裏想到的以外，什麼也沒有做。他們設法隱瞞了自己的發現，不讓未得真傳的人們知道。沒有無理數！什麼也沒有！有的隻是整數和它們的比數！
然而，想瞞也瞞不住，誰也無法長期隱瞞這一發現，過了一段時間，無理數的秘密就開始被不是畢達哥拉斯學生的那些人知道了。據說，這個秘密是被畢達哥拉斯的一個名叫基普帕斯的學生泄露出去的。從畢達哥拉斯學派的觀點來看，這是駭人聽聞的罪行！要知道，他們每個人入學時，都莊嚴地宣誓要始終嚴守秘密，然後才能允許入學。現在卻出現了違背這一誓言的罪人。怎樣處置他呢？畢達哥拉斯的門徒們祈求神靈的幫助。當基普帕斯的船隊載著大量的貨物返回故鄉的港灣時，海神普賽登使他遭受到了可怕的暴風雨。暴風雨開始衝散了船隊，然後使船連同船主一起沉沒。這個傳說當然是畢達哥拉斯的門徒們自己編造出來的。
顯然，很難想象一個埃及人如果知道了有什麼長度不能用整數的比數來表示，他們會多麼憂愁。埃及人還根本不能把類似的事實當作具有原則意義的事實，他們沒有達到這樣的數學程度。到了畢達哥拉斯時，這些事實的原則上的重要性已經充分地認識到了。這時，對於我們下麵要研究的那些問題已經產生了興趣。從它的實用價值來看，這些問題可能被認為是不重要的，但在作為一種科學理論的數學中，卻是非常重要和必要的。