不應當這樣認為：不能直接從某一個科學的事實中得到利益，就隻能使這個事實成為理論的財富。理論本身是人類實踐活動的產物，對於理論具有價值的東西，從實踐這個詞最直接的意義上來說，歸根到底，對於實踐也是重要的。
二、圓麵積之謎
怎樣求圓麵積？我們現在有公式可用，很快就算出來了。但是在漫長的年代裏，人們為了研究和解決這個問題，不知遇到了多少艱難和困苦，花費了多少精力和時間。
割補求麵積
在平麵圖形中，以長方形的麵積最容易求了。用大小一樣的正方形磚鋪墊長方形地麵，如果橫向用八塊，縱向用六塊，那一共就用了8×6=48塊磚。所以求長方形麵積的公式是：長×寬。
求平行四邊形的麵積，可以用割補的方法，把它變成一個與它麵積相等的長方形。長方形的長和寬，就是平行四邊形的底和高。所以求平行四邊形麵積的公式是：底×高。
求三角形的麵積，可以對接上一個和它全等的三角形，成為一個平行四邊形。這樣，三角形的麵積，就等於和它同底同高的平行四邊形麵積的一半。所以求三角形麵積的公式是：12×底×高。
任何一個多邊形，因為可以分割成若幹個三角形，所以它的麵積，就等於這些三角形麵積的和。
四千多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一個正方形，占地五萬二千九百平方米。它的底座邊長和角度計算十分準確，誤差很小，可見當時測算大麵積的技術水平很高。
古老的難題
圓是最重要的曲邊形。古埃及人把它看成是神賜予人的神聖圖形。怎樣求圓的麵積，是數學對人類智慧的一次考驗。
也許你會想，既然正方形的麵積那麼容易求，我們隻要想辦法做出一個正方形，使它的麵積恰好等於圓麵積就行了。你的想法很好，可是要做出這樣的正方形很難啊。
你知道古代三大幾何難題嗎？其中的一個，就是你剛才想到的化圓為方。這個起源於古希臘的幾何作圖題，在兩千多年間，不知難倒了多少能人，直到19世紀，人們才證明了這個幾何題，是根本不可能用圓規和無刻度的直尺作出來的。
化圓為方這條路走不通，人們不得不開動腦筋，另找出路。
我國古代的數學家，從圓內接正六邊形入手，讓邊數成倍增加，用圓內接正多邊形的麵積去逼近圓麵積。
古希臘的數學家，從圓內接正多邊形和外切正多邊形同時入手，不斷增加它們的邊數，從裏外兩個方麵去逼近圓麵積。
古印度的數學家，采用類似切西瓜的辦法，把圓切成許多小瓣，再把這些小瓣對接成一個長方形，用長方形的麵積去代替圓麵積。
他們煞費苦心，巧妙構思，不怕困難，為求圓麵積作出了十分寶貴的貢獻。
酒桶的學問
16世紀的德國天文學家開普勒，是一個重視觀察、肯動腦筋的人。他曾把丹麥天文學家第穀遺留下來的大量天文觀測資料，認真地進行整理分析，提出了著名的“開普勒三定律”。開普勒第一次告訴人們，地球圍繞太陽運行的軌道是一個橢圓，太陽位於其中的一個焦點上。
開普勒當過數學教師，他對求麵積的問題非常感興趣，曾進行過深入的研究。他想，古代數學家用分割的方法去求圓麵積，所得到的結果都是近似值。為了提高近似的程度，他們不斷增加分割的次數。但是，不管分割多少次，幾千幾萬，隻要是有限次，所求出來的總是圓麵積的近似值。要想求出圓麵積的精確值，必須分割無窮多次，把圓分成無窮多等分才行。
開普勒也模仿切西瓜的方法，把圓分割成許多小扇形；不同的是，他一上來就把圓分成無窮多個小扇形。
因為這些小扇形太小了，小弧AB也太短了，所以開普勒就把小弧AB和小弦AB看成是相等的，即AB=AB。
這樣一來，小扇形AOB就變成為小三角形AOB了；而小三角形AOB的高就是圓的半徑R。於是，開普勒就得到：
小扇形AOB的麵積=小三角形AOB的麵積=12R×AB。
圓麵積等於無窮多個小扇形麵積的和，所以圓麵積S=12R×AB+12R×BC+12R×CD+…=12R×（AB+BC+CD+…）=12R×（AB+BC+CD+…）在最後一個式子中，各段小弧相加就是圓的周長2πR，所以有S=12R×2πR=πR2這就是我們熟悉的圓麵積公式。
開普勒運用無窮分割法，求出了許多圖形的麵積。1615年，他把自己創造的這種求麵積的新方法，發表在《葡萄酒桶的立體幾何》一書中。