這個奇怪的書名是有來由的。有一天，開普勒到酒店去喝酒，發現奧地利的葡萄酒桶，和他家鄉萊茵的葡萄酒桶不一樣。他想，奧地利葡萄酒桶為什麼偏要做成這個樣子呢？高一點好不好？扁一點行不行？這裏麵會不會有什麼學問？經過研究，開普勒發現，當圓柱形酒桶的截麵ABCD的對角線長度固定時，比如等於m，以底圓直徑和高的比為2時體積最大，裝酒最多。奧地利的葡萄酒桶，恰好是按這個比例做成的。這一意外發現，使開普勒非常高興，決定給這本關於求麵積和體積的書，起名為《葡萄酒桶的立體幾何》。
在這本書中，開普勒除介紹了他求麵積的新方法外，還介紹了他求出的近百個旋轉體的體積。比如，他計算了圓弧繞著弦旋轉一周，所產生的各種旋轉體的體積。這些旋轉體的形狀，有的像蘋果，有的像檸檬，有的像葫蘆。
開普勒大膽地把圓分割成無窮多個小扇形，又果敢地斷言：無窮小的扇形麵積，和它對應的無窮小的三角形麵積相等。他在前人求麵積的基礎上，向前邁出了重要的一步。
《葡萄酒桶的立體幾何》一書，很快在歐洲流傳開了。數學家高度評價開普勒的工作，稱讚這本書是人們創造求麵積和體積新方法的靈感源泉。
一種新的理論，在開始的時候很難十全十美。開普勒創造的求麵積的新方法，引起了一些人的懷疑。他們問道：開普勒分割出來的無窮多個小扇形，它的麵積究竟等於不等於零？如果等於零，半徑OA和半徑OB就必然重合，小扇形OAB就不存在了；如果它的麵積不等於零，小扇形OAB與小三角形OAB的麵積就不會相等。開普勒把兩者看作相等就不對了。
麵對別人提出的問題，開普勒自己也說不清楚。
卡瓦利裏的方法
卡瓦利裏是意大利物理學家伽利略的學生，他研究了開普勒求麵積方法中的問題。
卡瓦利裏想，開普勒把圓分成無窮多個小扇形，這每個小扇形的麵積到底等於不等於零，就不好確定了。但是，隻要小扇形還是圖形，它是可以再分的呀。開普勒為什麼不再繼續分下去了呢？要是真的再細分下去，那分到什麼程度為止呢？這些問題，使卡瓦利裏陷入了沉思之中。
有一天，當卡瓦利裏的目光落到自己的衣服上時，他忽然靈機一動：唉，布不是可以看成為麵積嘛！布是由棉線織成的，要是把布拆開的話，拆到棉線就為止了。我們要是把麵積也像布一樣拆開，拆到哪兒為止呢？應該拆到直線為止。幾何學規定直線沒有寬度，把麵積分到直線就應該不能再分了。於是，他把不能再細分的東西叫做“不可分量”。棉線是布的不可分量，直線是平麵麵積的不可分量。
卡瓦利裏還進一步研究了體積的分割問題。他想，可以把長方體看成為一本書，組成書的每一頁紙，應該是書的不可分量。這樣，平麵就應該是長方體體積的不可分量。幾何學規定平麵是沒有薄厚的，這樣想也是有道理的。
卡瓦利裏緊緊抓住自己的想法，反複琢磨，提出了求麵積和體積的新方法。
1635年，當《葡萄酒桶的立體幾何》一書問世20周年的時候，意大利出版了卡瓦利裏的《不可分量幾何學》。在這本書中，卡瓦利裏把點、線、麵，分別看成是直線、平麵、立體的不可分量；把直線看成是點的總和，把平麵看成是直線的總和，把立體看成是平麵的總和。
卡瓦利裏怎樣用不可分量求麵積的呢？現在以橢圓為例，介紹如下：
橢圓有一條長軸和一條短軸，如圖相交於O，把橢圓分成了四等份。
卡瓦利裏設a和b是長軸和短軸的一半；以橢圓中心O為圓心，以b為半徑，在橢圓內作一個圓。
他根據不可分量的想法，把橢圓麵積的四分之一，看成是由無窮多條平行於a的線段組成，每一條線段與圓交於一點。
卡瓦利裏根據橢圓的性質推出，任一條和a平行的線段MN，與圓交於P，一定有MPMN＝ba他把這樣引出的無窮多條平行線段，由小到大編上M1N1，M2N2，M3N3，…就可以得到一大串比例式M1P1M1N1＝M2P2M2N2＝M3P3M3N3＝…＝ba比例有這樣一個性質：如果ab＝cd成立，那麼a＋cb＋d＝cd也成立。他利用比例的這個性質，就得到M1P1＋M2N2＋M3P3＋…M1N1＋M2N2＋M3N3＋…＝ba在卡瓦利裏看來，分子的和就是圓麵積的四分之一，分母的和就是橢圓麵積的四分之一。
因為14圓麵積14橢圓麵積＝圓麵積橢圓麵積＝ba即πb2橢圓麵積＝ba所以，橢圓麵積＝πab這就是我們現在求橢圓麵積的公式。
卡瓦利裏使用不可分量的方法，求出了許多前人不會求的麵積，受到了人們的擁護和尊敬。
卡瓦利裏還根據不可分量的方法指出，兩本書的外形雖然不一樣，但是，隻要頁數相同，薄厚相同，而且每一頁的麵積也相等，那麼，這兩本書的體積就應該相等。他認為這個道理，適用於所有的立體，並且用這個道理求出了很多立體的體積。這就是有名的“卡瓦利裏原理”。
事實上，最先提出這個原理的，是我國數學家祖日恒。
祖日恒是祖衝之的兒子，生於公元5到6世紀，比卡瓦利裏早一千多年，所以我們叫它“祖日恒原理”或者“祖日恒定理”。