距離（米）時間（秒）平均速度v（米／秒）90422.543221.5331.5721200.9620.8120.5820.67.840.3920.1從表中可以看出，隨著距離的不斷縮短，船的平均速度越來越接近20米／秒。這樣，我們自然會推想20米／秒，就應該是船過B點的瞬時速度。
你看，用平均速度去逼近瞬時速度，多麼像用圓內接正多邊形麵積去逼近圓麵積啊！
我國古代數學家用割圓的方法，隻能求出圓麵積的近似值。上麵，我們用縮短距離的方法，也隻能求出瞬時速度的近似值。可是我們要求的並不是近似值，而是瞬時速度本身。
當然，我們可以想方設法，盡量縮短測量距離，使求出來的平均速度，盡量接近瞬時速度。
但是，我們也必須清楚地看到，隻要距離s不等於零，用st算出來的平均速度，總要和瞬時速度相差那麼一點。幹脆讓s＝0吧，s＝0了，t也必然等於零，這時st就變成為00了。這可不成啊，老師再三強調零不能作分母。
你看，瞬時速度就在眼前，離我們越來越近了，可就是眼巴巴地摸不著它。
世上無難事，隻怕有心人。開普勒和卡瓦利裏勇於革新，創造出了求麵積的新方法；牛頓在求瞬時速度上，也作了大膽的嚐試。
牛頓割尾巴
牛頓認真分析了平均速度和瞬時速度的關係，提出了計算瞬時速度的新方法。下麵，我們來介紹一下牛頓的新方法：
假設有一隻船從0點出發，作變速直線運動，一秒鍾走了一米，二秒鍾走了四米，三秒鍾走了九米，……分析一下上麵幾個數，船走過的距離，正好等於時間的平方。就是1秒鍾走了12米，2秒鍾走了22米，3秒鍾走了32米，……t秒鍾走了t2米。s＝t2，反映了這隻船的運動規律。
現在，假設我們要求第二秒末的瞬時速度。
船在第二秒末走到了B點，B點距離O點4米。根據前麵求瞬時速度的辦法，求第二秒末的瞬時速度，需要先求出平均速度。我們不妨讓船由B點再向前走一小段時間。
因為我們給出的時間很小很小，小得與眾不同了，我們在t的前麵加上一個希臘字母△（讀delta），寫成△t，好和一般的時間有所區別。
在時間△t內，船又向前走了多少米呢？這可以算出來，船2秒鍾走了22米，（2＋△t）秒走了（2＋△t）2米。它們的差（2＋△t）2－22，就是△t秒內船走過的距離。這個距離也很小，我們用類似的記號△s來表示，得到△s＝（2＋△t）2－22＝〔22＋2×2×△t＋（△t）2〕－22＝4△t＋（△t）2這樣，在△t秒內的平均速度v應該是：
v＝△s△t＝4△t＋（△t）2△t＝4＋△t（米／秒）牛頓心裏很清楚，隻要△t不等於零，平均速度v總要帶著一個小尾巴——△t。拖個小尾巴的蝌蚪，如果不去掉尾巴，就變不成青蛙；帶小尾巴的平均速度，如果不去掉小尾巴△t，也永遠變不成瞬時速度。
牛頓采取果斷措施，大膽令最後結果中的△t＝0，割掉了平均速度的尾巴。他認為割掉了尾巴的平均速度，就應該是瞬時速度。
用牛頓的方法，我們要求船在第二秒末的瞬時速度，隻要令4＋△t中的△t＝0，割掉尾巴，就得到了第二秒末的瞬時速度4米／秒。
牛頓用這種割尾巴的辦法，求出了很多變速運動的瞬時速度，經過實踐的檢驗，結果都是對的。瞬時速度這個可望而不可及的東西，終於被牛頓智慧的手給捉住了！
牛頓割尾巴的新方法，推動了數學和物理學的研究和發展。
主教的誣蔑
科學反對迷信，衝擊神權，是教會的死對頭。牛頓求瞬時速度的新方法，遭到了教會的敵視和反對。
1734年，英國出版了大主教貝克萊寫的一本書，正題叫《分析學者》，副題叫《致不信神的數學家》，惡毒攻擊牛頓發明的新方法。
貝克萊說，牛頓在求瞬時速度的過程中，首先用△t除等式兩邊。因為數學上規定零不能作除數，所以作為除數的△t不能等於零；可是牛頓最後又采取割尾巴的方法，令△t等於零。
這樣，△t一會兒是零，一會兒又不是零，這不是自相矛盾嗎？△t既然代表時間，它應該是一個數量。這個忽兒是零，忽兒又不是零，虛無縹緲、飄泊不定的數量△t，不正是我們教會裏所說的鬼魂嗎！不過它不是消失了肉體的人的鬼魂，而是消失了數量的量的鬼魂。
貝克萊對牛頓的攻擊，完全是為了維護教會的神權統治。他說的什麼“量的鬼魂”，純粹是胡言亂語。但是，貝克萊卻提出了一個值得重視的問題：△t到底是不是零？
前麵講到，開普勒把圓分成無窮多個小扇形，他說不清楚每個小扇形的麵積到底是多小；卡瓦利裏把麵積看成是無窮多條線段的和，他也從未解釋過，為什麼沒有寬度的線段能組成麵積。現在，牛頓求瞬時速度，他也說不清楚△t到底是不是零。
這些說不清楚的問題，後來終於說清楚了，這就是極限思想的建立。
四、極限的奧秘
什麼是極限？極限難懂嗎？其實，我們在小學學算術的時候就認識極限，和它打過交道，隻不過那時沒有用極限來稱呼它罷了。
從分數談起
我們很熟悉分數。在分數化小數的時候，我們常常會碰到一類沒完沒了的小數。
你看，化13為小數，它等於0.333…，是一個無限循環小數。