你再看13＋13＋13＝0.333…＋0.333…＋0.333…左端相加等於1，右端相加等於0.999…所以1＝0.999…這個等式對嗎？你是否覺得0.999…應該比1小一點點才對呢？可是這裏劃的是等號，表示0.999…＝1這就是極限問題。
要是把13＝0.333…兩邊同乘以6，就得到2＝1.999…看起來，1.999…好像也應該比2小一點點才對，可是這裏劃的也是等號，表示兩邊一星半點也不差。
這到底是怎麼回事呢？
在小學裏，我們還學過無限循環小數化分數：
0.7·=0.777…＝790.14··＝0.141414…＝14990.132···＝0.132132132…＝1329990.215 47··＝0.215474747…＝0.215＋4799000為什麼在循環節下麵寫上幾個9，就可以把循環小數化成為分數呢？這也是極限問題。
極限並不難懂，隻要動腦筋多想想，是完全可以領會的。
惠施的名言
古希臘有一位詭辯家叫芝諾，我國古代戰國時期，也有過一位精於辯論的有名人物叫惠施。
惠施很有學問，據說他寫的書要裝好幾大車。
惠施說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”意思是說一根一尺長的棍，每天都把它斷為兩半，取走其中一半，千秋萬代也取不完。
你看，第一天取走12尺，剩下12尺；第二天取走12尺的12，剩下14尺。這樣繼續分下去，剩下來的棍是18尺，116尺，1〖〗32尺……，雖然越分越短，可就是分不完，也取不完。
由分棍問題中，我們得到了一串有順序的數：
1，12，14，18，…我們把這一串有順序的數叫做“數列”，把其中每個數叫做數列的“項”。比如這個數列的第一項是1，第二項是12，第五項是116。
數列的種類
數列的種類很多。
數列1，12，14，18，…有無窮多項，是一個無窮數列。它的特點是越變數值越小，越變越靠近零，近到要多近有多近。
數列0.9，0.99，0.999，…也是一個無窮數列。它的特點是數值越變越大，越變越靠近1，近到要多近有多近。
數列1.9，2.01，1.999，2.0001，…也是一個無窮數列。它的特點是數值一會兒大，一會兒小，總的變化趨勢是越變越靠近2，近到要多近有多近。
數列1，1，1，1，…是個無窮數列，各項都等於1，是一個常數列。
數列4，7，－1，53，－29，－0.
05是一個有窮數列，一共有六項。它的變化雜亂無章，看不出什麼規律來。
我們應該把注意力集中在前麵三種無窮數列上。它們的共同特點是越變越靠近某個固定的數。認真研究一下它們的變化規律，我們會發現用“靠近”這個詞，來形容它們與某一個固定數的關係還不夠確切。比如數列0.9，0.99，0.999，…與1的關係，已經靠近到了這樣一種程度，這個數列充分靠後的項，與1近到了“你要多近有多近”，“你說多近，可以近到比你說的還近”。
雜技鑽圈
你看過雜技鑽圈嗎？舞台上立著幾個直徑很小的圈，演員們個個輕巧靈活，像貓一樣在幾個圈之間鑽來鑽去。
下麵，我們來看一個數學雜技鑽圈，“演員”是無窮數列0.9，0.99，0.999，…在數軸上以1為圓心，畫幾個同心圓，這就是一個套一個的小圈。
從圖可以看到，數列的第一項0.9，還在所有圈的外麵；第二項0.99，就鑽進到第三個圈裏麵去了；第三項0.999，鑽到第四個圈裏麵去了……數列的這個“演員”，比雜技演員的技術還要高超。雜技演員鑽的圈不能無限製的小，比如直徑比頭還小的圈，就說什麼也鑽不進去了。但是，數列的這個“演員”可不論那一套，不管圈的直徑有多小，它都能照樣鑽得進去。
半徑為0.000000001的小圈，可夠小的了，數列從第十項0.9999999999起，都能鑽進到小圈裏去。因為1－0.9999999999＝0.0000000001＜0.000000001，所以，0.9999999999應該在小圈裏。你隨便往小說好了，隻要你能說出具體的數來，數列從某一項起就準能鑽得進去。
但是，數列“演員”也有不如雜技演員的地方。雜技演員在表演鑽圈時，既可以探身鑽進去，也可以縮身退出來。數列“演員”0.9，0.99，0.999，…就不行了，它從某一項起，隻要鑽進以1為中心的小圈裏，就再也不能退出來了。
對雜技演員來說，不管你把圈放在什麼地方，放在北京還是上海，放在中國還是外國，他們都可以同樣表演。數列“演員”0.9，0.99，0.999，…就不成了，它隻會鑽以1為中心的各種小圈。要是你把圈挪動一下，比如把中心挪到2，那它隻能看著放在近旁的小圈，望圈歎息，鑽不進去。因為數列0.9，0.99，0.999，…隻能越來越靠近1，不能超過1，所以就鑽不進以2為中心、半徑小於1的圈了。
根據同樣的道理，數列1，12，14，18，…可以鑽進以0為中心的同心小圓裏；數列1.9，2.01，1.999，2.0001，…可以鑽進以2為中心的同心小圓裏。
這三位數列“演員”，雖然鑽圈的本領一樣高強，但是它們的鑽法各異，自成一派。