你看，數列0.9，0.99，0.999，…總是從左往右鑽圈；數列1，12，14，18，…總是從右往左鑽圈；數列1.9，2.01，1.999，2.0001，…總是一左一右跳躍著鑽圈。
一個無窮數列，要是從某一項開始，以後所有的項都是越來越靠近一個固定的數，靠近到“你要多近有多近”，“你說多近，可以近到比你說的還近”，我們就把這個固定的數，叫做這個無窮數列的極限！反過來看，要是一個無窮數列有極限的話，它一定是一位鑽以極限為中心的小圈的能手。
0.9，0.99，0.999，…的極限是1；1，12，14，18，…的極限是0；1.9，2.01，1.999，2.0001，…的極限是2。
謹防冒牌貨
無窮數列0.9，0，0.99，0，0.999，0，…有沒有極限？1是它的極限嗎？
我們說，這個數列沒有極限，1不是它的極限。因為這個數列不是一心一意地、而是三心二意地靠近1。你看它往1靠近一步，下一項就跳回到零；再往1靠近一步，下一項又跳回到零。它有“猴脾氣”，在裏麵呆不住，這不符合極限的要求，所以沒有極服。
數列0.1，0.01，0.001，0.0001，0.00001，0.000001的極限是0嗎？
這個數列變化的趨勢，確實是越來越靠近0，但是它隻有六項就完了，做不到“要多近有多近”，所以沒有極限。因此，項數有限的數列，不管有多少項，根本談不上有極限。
下麵的幾個數列有極限嗎？如果有極限，極限是什麼？
12，23，34，…1，2，3，…11，12，13，…4，4，4，…12，－14，18，－1〖〗16，…0.9，0.99，0.999，0.9999，0.999991，－1，1，－1，…請你動腦筋想一想，不要判斷錯了。
取勝的絕招
有些人，雖說不知道什麼是無窮數列和極限，可是卻會用它們去爭論問題，運用靈活，你相信嗎？
你聽，這是甲、乙兩個小同學看了電影《孫悟空大鬧天空》後，正在興高采烈、津津有味地爭論。
甲：我有孫悟空的本領，說聲“變”，我就可以變成一個一尺高的小人。
乙：我的本領比孫猴子高，我說聲“變”，可以變成一個半尺高的小人。嘿，比你矮半截。
甲：半尺高算得了什麼，我再說聲“變”，就為成一個一寸高的小人啦。
乙：我再說聲“變”哪，就半寸高了，還是比你矮一半。
甲不說話了，他在心裏想，照這樣說下去，沒完沒了，而他總比我矮。他終於想出了一個好主意，對乙說道：咱倆別抬杠了。這樣吧，你比我年齡小，我讓你先說。你可以隨便往矮裏變，隻是不許變沒了。你說了以後，就不許再改了，然後我再說，怎麼樣？
乙：行。他憋足了勁說：我可以變成一個一萬萬萬萬分之一寸高的小人。
甲胸有成竹地說：我可以變成兩萬萬萬萬分之一寸高的小人，比你矮吧。
甲後發製人，取得了勝利。
要是有人不相信無窮數列12，14，18，…的極限是0；12，23，34，…的極限是1，你就可以采用這種後發製人的取勝絕招，使他點頭稱是，口服心服。
做一次遊戲
知道了什麼是極限，就可以來研究為什麼0.999…＝1了。
我們可以把無限循環小數0.999…看成無窮數列0.9，0.99，0.999，…因為1是這個無窮數列的極限，所以有0.999……＝1啊，原來這個等式的含意是：無窮數列0.9，0.99，0.999，…的極限等於1。
我們還可以把0.999…寫成無窮多項的和：
0.999…＝0.9＋0.09＋0.009＋…因為0.999…＝1所以0.9＋0.09＋0.009＋……＝1這個等式很重要。現在，我們用這個等式來做一次取糖遊戲；假設在一個口袋裏裝有十塊糖，你六秒鍾取出一塊，一分鍾就把十塊糖取出來了。要是口袋裏的糖增加到一百塊，讓你一分鍾全取出來，隻要你動作快一些，能保證0.6秒取出一塊，一分鍾也就把糖全取出來了。
現在，假設口袋裏裝有無窮多塊糖，讓你一塊一塊地往外取，並且限你一分鍾全取出來，你辦得到嗎？這一回，你恐怕要皺眉頭了。
其實，這也沒有什麼不好辦。隻要你取糖的動作足夠快，是可以在一分鍾之內，把無窮多塊糖全部取出來的。取的方法是，你取第一塊糖用0.9分鍾，取第二塊糖用0.09分鍾，取第三塊糖用0.009分鍾……你這樣越取越快，把你取無窮多塊糖所用的時間，加在一起就是0.9＋0.09＋0.009＋…＝0.999…＝1。
結果，恰好等於1分鍾。這說明一分鍾是可以把無窮多塊糖全取出來的。
這條線多長
有一條由半圓組成的波形曲線如圖。已知最左邊的半圓半徑為0.9厘米，往右各半圓的半徑，依次是它左邊半圓半徑的十分之一，即R1＝0.9厘米，R2＝0.09厘米，R3＝0.009厘米，……雖然說半圓的半徑越來越短了，但是永遠不可能等於零，問這條波形曲線有多長？
乍一看，這條曲線好像不會有確定的長度。究竟有沒有？需要動手算一算。