我們知道半圓的周長是πR。假設整條波形曲線的長度為l，那麼l＝0.9π＋0.09π＋0.009π＋…＝π（0.9＋0.09＋0.009＋…）因為0.9＋0.09＋0.009＋…＝0.999…＝1所以l＝π×1＝π計算結果表明：這條無限振蕩、不斷伸長的波形曲線，它的總長等於π厘米！
給勇士平反
極限能幫助我們解決很多疑難問題。
前麵講到“飛矢不動”的詭辯，那位芝諾還提出過另外一個詭辯，叫做“阿溪裏斯追不上烏龜”。
阿溪裏斯是古希臘神話中的善跑的勇士。芝諾說，阿溪裏斯盡管跑得非常快，但是他卻追不上一隻在他前麵爬行的烏龜。這是怎麼回事呢？
芝諾說，假設烏龜從A點起在前麵爬，阿溪裏斯從O點出發在後麵追。當阿溪裏斯追到烏龜的出發點A時，烏龜同時向前爬行了一小段——到了B點；當阿溪裏斯從A點再追到B點時，烏龜又向前爬行了一小段——到了C點。依此類推，阿溪裏斯每次都需要先追到烏龜的出發點；而在阿溪裏斯往前追的同時，烏龜總是又向前爬行了一小段。盡管阿溪裏斯離烏龜的距離越來越近，可是永遠也別想追上烏龜。
過去，許多人不知道怎樣去駁倒芝諾。現在，有了極限的方法，就很容易戳穿他的謊言，把他徹底駁倒。
假定阿溪裏斯的速度是10米／秒，烏龜的速度是1米／秒；烏龜的出發點是A，阿溪裏斯的出發點是O，OA＝9米。
當阿溪裏斯用0.9秒跑完9米到了A點；烏龜在0.9秒的時間內，向前爬行了0.9米，到了B點。
阿溪裏斯再用0.09秒跑完0.9米，追到了B點；烏龜同時又向前爬行了0.09米，到了C點。……阿溪裏斯一段一段地向前追趕，所用的總時間t和總距離s是t＝0.9＋0.09＋0.009＋…（秒）s＝9＋0.9＋0.09＋…（米）因為0.9＋0.09＋0.009＋…＝0.999…＝1所以t＝1（秒）s＝10×（0.9＋0.09＋0.009＋…）＝10×1＝10（米）計算表明，阿溪裏斯隻用了一秒鍾，跑了十米路，就把烏龜追上了！
看來，阿溪裏斯真要感謝極限了。要不是極限把問題給搞清楚了，他還要蒙受追上不烏龜的恥辱。
製作望遠鏡
我們來介紹極限在幾何上的一個應用。
雨天騎自行車，車輪帶起的雨水，是沿著車輪的切線方向飛出去的。
圓周上一點A的切線好求。聯OA，過A作LA⊥OA，LA就是切線。科學研究的發展，迫切需要解決怎樣作一般曲線的切線。
三百多年前，荷蘭賣鏡片的亨斯無意中發現，把一片老花鏡和一片近視鏡組裝在一起，可以看清楚遠處的景物，製成了第一架望遠鏡。
伽利略改進了望遠鏡，造出了能放大32倍的望遠鏡。他用這架望遠鏡，發現了月亮上的高山和穀地，發現了太陽上的黑子，發現了木星的四顆衛星。這一係列的發現，驚動了當時歐洲的科學界，許多科學家紛紛製作倍數更大的望遠鏡。
製作望遠鏡促進了光學的研究。原來，鏡片的彎曲程度，直接影響著望遠鏡的放大倍數，而鏡片彎曲程度的計算和設計，都要用到切線。
怎樣求一般曲線的切線？人們曾經提出過許多方法。但是在這些方法中，都存在著一些不能令人滿意的地方。後來，人們應用極限的思想，把切線看作是割線的極限位置，很好地解決了曲線的切線問題。
如圖，當B點沿著曲線C向A點運動時，割線AB就以A為中心轉動。在B點無限趨近A點的過程中，割線AB如果有一個極限位置L存在的話，那麼，直線L就叫做曲線C在A點的切線。
認識無窮小以零為極限的無窮數列很重要。
1，12，13，14，…1，－12，14，－18，…13，133，1333，…－0.4，0.04，－0.004，0.0004，…這些數列的共同點是：越變絕對值越小，越變越靠近零。我們把這種絕對值越來越小，以零為極限的無窮數列叫做無窮小。
要是讓無窮小的每一項都翻一個跟頭，變成為它的倒數，就可以得到另外一種數列。你看，把上麵四個無窮小翻一個跟頭得到1，2，3，4，…1，-2，4，-8，…3，33，333，…-10.4，10.04，-10.004，10.0004，…這四個新數列的共同特點是：絕對值越變越大，充分靠後的項的絕對值，可以大到“你要多大有多大”，“你說多大，可以變得比你說的還大”。我們把這種無窮數列叫做無窮大。
無窮小和無窮大的數值相差很大，但是關係密切。無窮小翻一個根頭，就變成了無窮大；無窮大翻一個根頭，就變成了無窮小。
無窮小還和別的有極限的無窮數列特別要好，好到形影不離。凡是有極限的地方，總少不了無窮小。
無窮數列0.9，0.99，0.999，…的極限是1，伴隨著它，有一個無窮數列0.1，0.01，0.001…很明顯，這個數列的數值越變越小，以0為極限，是一個無窮小。
無窮數列1.9，2.01，1.999，2.0001，…的極限是2，伴隨著它的無窮小是0.1，-0.01，0.001，-0.0001，…通過這兩個例子，我們可以總結出一個數列有極限，求伴隨它的無窮小的方法是：拿數列的極限，依次減去數列的每一項，就得到了這個無窮小。
請你求一求，伴隨下麵幾個數列的無窮小：
12，23，34，45，…的極限是1；2，32，43，54，…的極限是1；4，73，105，137，…的極限是32；1，14，19，116，…的極限是0。