極限和無窮小的這種親密關係，你可以自己動手畫個圖形來看就更清楚了。
你看，把等腰三角形ABC的底邊AC分成8等份，作一個內接台階形。台階形的麵積與ΔABC的麵積的差，就是圖上靠在兩腰上的8個小三角形麵積的和。
當我們把底邊AC分成為16等分時，內接台階形的麵積就更接近ΔABC的麵積了。也就是說，邊上16個小三角形麵積的和變得更小了。
當我們把底邊AC分劃的份數無限增多時，台階形麵積的極限就是ΔABC的麵積。也就是靠兩腰的三角形個數無限增加，而它們的麵積的和是一個無窮小。
駁倒大主教
前麵講到牛頓從平均速度出發，正確地求出了瞬時速度。但是，他說不清楚Δt是不是零，以至被大主教貝克萊鑽了空子，胡說Δt是什麼消失了數量的“量的鬼魂”。有了極限，我們就可以駁倒貝克萊的謊言了。
牛頓求瞬時速度的方法，是先求出平均速度v＝ΔsΔt；當Δt越來越小時，平均速度越來越接近瞬時速度。還是拿前麵的航船作例子，s＝t2，Δs＝4Δt+（Δt）2，平均速度v＝ΔsΔt＝4+Δt。
我們可以給Δt-串越來越小的數值：
Δt＝1秒，0.1秒，0.01秒，0.001秒…相應地得到平均速度v的一串數值：
v＝5米／秒，4.1米／秒，4.01米／秒，4.001米／秒…隨著Δt越來越接近於零，平均速度v越來越接近4米／秒。它可以近到“你要多近有多近”
，“你說多近，可以近到比你說的還近”。這就是說，4米／秒是平均速度的極限。
那麼，Δt究竟是不是零呢？
從Δt的變化過程，我們可以清楚地看出，雖然Δt的值越來越小——1，0.1，0.01，0.001，…但是它始終不等於零，所以我們求平均速度時，可以放心地拿Δt去除Δs，這樣，平均速度ΔsΔt總是有意義的。
在Δt趨近於零的過程中，瞬時速度是平均速度的極限。這就是說，在取極限過程中，Δt始終沒有取零。所以，不用擔心會出現Δt＝0這個不合理的步驟。
由於極限的結果與令Δt＝0的結果完全一樣，所以，牛頓能正確地求出瞬時速度的數值。在牛頓求瞬時速度的時候，極限的思想和方法還沒有很好地建立起來，他隻從結果上考慮，令Δt＝0，造成了理論上的缺欠，讓貝克萊鑽了空子。
從極限角度看來，Δt是一個無窮小，以零為極限。
小扇形問題
開普勒一開始就把圓分割成無窮多個小扇形，正確地求出了圓麵積。但是他說不清楚，每個小扇形的麵積是不是零。
從極限角度來看，在開普勒對圓進行細分的過程中，得到了一串越來越小的小扇形麵積，這些小扇形的麵積，組成的數列是一個無窮小。它本身不是零，而是以零為極限。
當開普勒把小扇形換成為小三角形以後，小三角形麵積的和，就是圓麵積的近似值了。小扇形越小，相應的小三角形也越小，它們相差得也越小。這樣，小三角形麵積的和，也就越接近圓麵積了。
在細分圓的過程中，小三角形麵積的和組成了一個無窮數列，圓麵積就是這個無窮數列的極限。
卡瓦利裏用“不可分量”的方法求麵積和體積遺留下來的問題，也同樣可以用極限把它說清楚。
五、巧妙的方法
極限和無窮小緊緊相連，是無限過程的結果。要是把極限比做一曲動聽的交響樂，那它的每一個樂章，都離不開無限這個主題。
π等於多少π等於多少？
你回答：π等於3.1416。
3.1416是π的近似值，π的精確值等於多少？
你回答：π是一個無理數，是一個無限不循環小數。因為無限而又不循環，所以需要沒完沒了地寫下去，並且永遠也別想把它寫完。
答得很好。既然π的值需要沒完沒了地寫下去，永遠也寫不完，你怎麼知道π一定存在呢？
你問道：這……這是什麼問題呀？
這個問題很重要。看來，你還沒想到過這個問題。
整數和分數的存在是不容懷疑的。無限循環小數可以化成分數，它的存在也是不容懷疑的。
一個永遠寫不完、又沒有循環規律的無限不循環小數，怎麼能肯定它的存在呢？
仔細想想這個問題，實在有認真研究的必要。下麵，我們就來談談這個問題。
胡同裏捉雞
不知誰家的雞跑到胡同裏來了。
忽然，從一家院子裏跑出來了一個小男孩，他想捉住這隻雞。隻見雞在前麵，一會兒快跑，一會兒慢走；小男孩一個勁在後麵追，累得滿頭大汗，也沒有捉住雞。
這時候，從胡同的另一頭，走來了一個小女孩，兩個人一人把住一頭，一步一步地逼近雞。
當兩個小孩碰麵的時候，雞無處可逃，終於被捉住了。
小胡同裏捉雞啟發了我們。如果把數軸當作一條小胡同，把π當作跑進胡同裏的雞，看看我們能不能用胡同裏捉雞的辦法，去捉住π這隻雞。如果能夠捉住，當然就可以肯定π的存在了。
在捉π的時候，我們通過圓內接正多邊形和外切正多邊形，可以不斷地算出π的不足近似值和過剩近似值，用這兩串數把π夾在中間：