3＜π＜43.1＜π＜3.23.14＜π＜3.153.141＜π＜3.142…………如果把這兩串數值畫在數軸上，我們會發現這兩串數越來越靠近，就像兩個小孩從胡同的兩頭，一步一步地逼近雞似的。既然兩個小孩碰麵的時候，雞被捉住了；那麼，這兩串數“碰麵”的時候，就應該能捉住π。
數學上已經證明，用捉雞的方法，在數軸上捕捉實數時，一定能捕捉到一個，絕不會叫你撲空。
對於任意給定的無窮數列x1，x2，x3，…如果我們能夠找到兩列有共同極限的無窮數列：
a1，a2，a3，…的極限為M，b1，b2，b3，…的極限也為M，把所給的數列夾持在這兩個數列之間，即a1≤x1≤b1，a2≤x2≤b2，a3≤x3≤b3，…那麼，所給的數列一定也以M為極限，即x1，x2，x3，…的極限為M。
這個確定極限存在的方法，是用已知去逼近未知，用處廣泛，十分重要。
死胡同捉ee和π一樣是一個無理數，一樣很有用。
e是怎樣得到的呢？原來人們在研究無窮數列（1+11）1，（1+12）2，（1+12）3，…（1+1n）n，…時，證明這個數列肯定有一個極限存在，可是這個極限的數值等於多少呢？
觀察這個數列的變化規律：
（1+11）1＝（1+1）1＝2（1+12）2＝（32）2＝2.25（1+13）3＝（43）3＝6427≈2.37（1+14）4＝（54）4＝625256≈2.44……這個數列的數值從第一項起，一項比一項大。但是，不管你怎麼往下算，它的數值永遠小於2.8。這就好比在一條死胡同裏捉雞。
在死胡同裏捉雞，就不再需要兩個小孩了，隻要一個小孩就可以把雞捉到。2.8就好比是胡同裏堵死的一端。這個數列的極限，就好比是要捉的雞；一項一項的數值，就好比是步步逼近雞的小孩。當雞跑近胡同的一頭，無處可逃時，也終於讓小孩捉住了。
人們就是用類似死胡同裏捉雞的方法，去捕捉這個極限，發現它是個無理數。數學家用e來表示它，e＝2.718281828459045…在數軸上捕捉實數，當發現一端是“堵死”的時候，隻要從另一端步步逼近就可以了。
電工找斷線
在具體使用兩邊夾逼的方法時，怎樣才能找到兩串數，由兩邊來逼近所求的值呢？使用較多的是“二分逼近法”。電工找斷線，用的就是這個方法。
電線AB，不知什麼地方斷了。請來電工，他首先找到AB的中點C，測試一下，如果AC之間通電，斷線肯定在BC中間；如果AC之間不通電，那一定是AC中間斷了。假定是AC中間斷了，他再找到AC的中點D，用同樣的方法，找出斷線是在AD之間，還是在DC之間。假定是DC之間斷了，他再找出DC的中點E。這樣一次一次地測試，測試的電線一次比一次短，經過幾次測試，就可以把斷頭找出來了。
電工尋找未知點，總是把斷線一分為二，然後步步逼近。現在，我們用二分逼近法來捕捉無理數3：
因為12＜3＜22，所以3必然在1和2之間。
找到1和2的中點1.5，因為1.52＝2.25＜3，所以3必然在1.5和2之間。
再找到1.5和2的中點1.75，因為1.752＝3.0625＞3，所以3必然在1.5和1.75之間。
這樣繼續下去，範圍越來越小，所得到3的近似值，也就越來越精確了。
當然，根據需要，采用別的分法也可以。
逼近曲邊形
由曲線OB的端點B，引垂直於OX軸的直線BA，得到一個曲邊三角形OAB。怎樣求曲邊三角形OAB的麵積呢？
乍一看去，這個問題好像很難，因為沒有現成的公式可用。要是我們采用小孩捉雞的方法，去逼近曲邊三角形OAB，很快就可以把它的麵積求出來。
先把OA分成四等份，假設作出三個小矩形1，2，3。我們用這三個小矩形麵積的和S3，來代替曲邊三角形OAB的麵積，相差的就是其中的斜線部分。S3可以計算出來：
S3＝1+2+3＝A1B1×A1A2+A2B2×A2A3+A3B3×A3A＝OA4×（A1B1+A2B2+A3B3）。
你可能會想，這樣近似代替的誤差不是太大嗎？的確太大了，但是可以想辦法使誤差小一些。方法是把OA多分幾份，比如分成十等份，作出九個小矩形。用九個小矩形麵積的和S9，來代替兩邊三角形OAB的麵積，這時相差的麵積就小多了。
我們如果再多分下去，分得越多，相差的麵積也越小。也就是說，所有小矩形麵積的和，與曲邊三角形OAB的麵積越接近於相等。你看，在無限等份過程中，所有小矩形麵積的極限，就是曲邊三角形OAB的麵積了。
在一般情況下，當我們還不知道另一邊是不是“堵死”的時候，為了保險起見，我們應該從兩邊去逼近它。求曲邊三角形OAB的麵積，也可以用兩邊逼近法如圖。
當我們等分OA的份數越來越多時，裏麵小矩形麵積的和越來越大，外麵小矩形麵積的和越來越小；當裏外“碰麵”的時候，就捉住了曲邊三角形OAB的麵積這隻“雞”。
神秘的無限
在極限的基礎上，建立起來了一門十分重要的數學分支叫做微積分。它專門和無限打交道。