軍事學院的教書生活，並未使阿貝爾身體恢複健康。阿貝爾積勞成疾，但他還在拚命研究數學。當他得知法國偉大數學家勒讓得稱讚他的工作時，高興地說：“當我看到自己的工作能值得本世紀的大數學家之一的注意，是我一生中最快樂的時刻之一。”
1829年4月6日，一顆本可以發出耀眼光輝的星星在弗魯蘭隕落了，不到27歲的阿貝爾辭別了他心愛的數學。柏林大學邀請他擔任教師的信件在他去世後的第二天才寄出。此後榮譽和褒獎接踵而來，1830年他和C·G·J·雅可比共同獲得法國科學院大獎。
阿貝爾雖然隻有短暫的26年生命，但他取得的成果，足夠以後的數學家忙碌150年。
為了紀念這位傑出的數學家，奧斯陸皇家公園的一座小山前，矗立著阿貝爾的雕像，這座山丘也被命名為“阿貝爾丘”。
波利亞慘遭扼殺
在歐幾裏得的《幾何原本》中，有一條“第五公設”：平麵上一直線和兩直線相交，當同旁內角之和小於二直角時，則兩直線在這一側充分延長後一定相交。
第五公設有兩大特點引起了人們的注意。首先，《幾何原本》中前四個公設語句簡短、含義簡單，而第五公設則顯得語句冗長、內容繁瑣，影響了公理的顯而易見性。其次，這一公設在歐幾裏得的幾何體係裏用得比較遲，直到證明第29個定理時才應用；而且僅用過一次。可見歐幾裏得對這一公設也多少持懷疑和不滿的態度。於是自然引起一種想法：這一公設或許是多餘的，或者是可以證明的定理。如果是能夠證明的定理，又怎樣證明？於是研究第五公設的漫漫長征路就此開始了。
從事這個工作的學者有“一個軍團之多”。到了18世紀，已經有一些數學家從否定第五公設出發，頗為深入地展開了討論。當然，這也是人們“眼前無路想回頭”之舉——既然不能證明第五公設，不妨嚐試否定它。其中以意大利薩開裏（1667~1733）和生於瑞士後來移居德國的蘭伯特（1728~1777）最為著名。
薩開裏於1733年發表的《歐幾裏得無懈可擊》、蘭伯特1766年發表的《平行線論》都別出心裁地提出了一係列的新命題，在邏輯上、係統上、理論上完全可以自成一體。循此可以形成一種獨立於歐幾裏得幾何的非歐幾何體係。然而，這兩位謹小慎微、囿於傳統的數學家都“近在眼前不識君”，不敢越雷池一步，因而錯過了創立非歐幾何的大好機會，致使非歐幾何的誕生被推遲了幾十年。
非歐幾何的創立歸功於19世紀的數學家們。高斯在1816年發現平行公設根本不能證明後，已基本上確立了這種幾何。但遺憾的是，他至死不敢公開他的發現。
高斯在哥廷根大學學習時有一個名叫伏爾岡·波利亞（Wolfgang Bolyai）的同學，後來成了他的好朋友。這位同學也對平行公設有濃厚的興趣，然而在花費了不少時間僅僅找到幾個相似的命題之後，毫無收獲，於是這位思想保守的數學家便放棄了這類研究。然而，老波利亞卻有一位“不怕虎”的、繼承他數學事業的“初生牛犢”——他的兒子約翰·波利亞。
小波利亞1802年12月15日出生在克勞森堡——1918年前屬奧匈帝國，即今羅馬尼亞布魯日。
在父親的熏陶和指點下，酷愛數學的小波利亞13歲就掌握了微積分，中學畢業後於1817年考入維也納皇家工程學院。1822年畢業後被分配到特梅斯瓦爾要塞任軍職，成為奧地利軍隊中的一名匈牙利軍官。奔波、緊張的軍旅生活沒能泯滅他對數學的酷愛，曾上書要求專門從事數學研究，但未能如願以償。1833年，才因工傷退伍。
早在大學期間，小波利亞就繼承了父親對歐氏平行公設研究的熱情，醉心於平行公設的證明。有材料表明，那時他就發現證明是不可能的，並找到了通往非歐幾何的道路。然而，老波利亞鑒於自己失敗的教訓，曾多次寫信給兒子說：“希望你再不要做克服平行公理的嚐試了……”但是，素有“勇敢軍官”之稱的小波利亞卻堅持進行新幾何學的研究。在1823年11月3日，他寫信給父親說：“我已經白手起家創造了另一個新奇的世界。”這時他年僅21歲。1825年，他的非歐幾何已基本完成，於是請求父親幫助發表。但父親並不相信兒子的那套理論，拒絕了兒子的請求。4年過去了，父親的拒絕態度依然如故，於是他在1829年把自己所創立的理論用德文寫成論文《絕對空間的幾何》，寄給維也納工學院的數學教授、他的老師艾克維爾，可惜抄本被遺失了。後來，經過再三請求，在1831年，他的論文才作為附錄發表在他父親的《對青年學生進行初等數學和高等數學入門教育的試驗》這一著作的第一卷中，題名為《絕對空間的科學》。