1824年，年僅22歲的挪威數學家阿貝爾從理論上證明了一般四次以上的方程沒有求根公式。
但是，阿貝爾的研究並不徹底。例如，為什麼有的特殊高次方程能用公式求解呢？如何準確判斷哪些高次方程可用公式求解呢？伽羅華就是想解決這些問題。也就是說，伽羅華實際上開始研究的是方程論和群論。1828年，17歲的中學生伽羅華寫成了他的第一篇數學論文，實際上涉及群論的初步理論，題目是《關於五次方程的代數解法》。1829年3月，他的《循環連分數的一個定理的證明》在法國《純粹數學與應用數學年刊》上發表，這是他一生僅發表的五篇論文中的第一篇，其餘四篇是：《分析的某些要點短評》、《剖析一篇關於方程的代數解法的論文》、《關於數值方程解法的注記》和《數論》。
1829年5月底，伽羅華中學將畢業時，他將《關於五次方程的代數解法》提交給了法國科學院評判。這年6月1日，法國科學院討論了伽羅華的論文，決定由當時法國最著名的數學家柯西主審。1830年1月18日，柯西曾計劃對伽羅華的研究成果在科學院舉行一次全麵的聽證會。他在一封信中曾這樣寫道：“今天我應向科學院提交一份關於年輕的伽羅華的工作報告……但我因病在家。我很遺憾地未能出席今天的會議，希望你安排我參加下次會議以討論已指明的問題。”但具有戲劇色彩的是，當第二周柯西向科學院宣讀他自己的一篇論文時，卻未介紹伽羅華的論文。為什麼這樣奇怪？這很值得研究。此外，由於伽羅華的論文中有許多新概念，文字也過於簡略，柯西希望伽羅華重寫，詳述他的理論。於是伽羅華第二次寫了一篇更詳細的論文於1830年2月底呈交給科學院。這時柯西即將離開法國，論文便由另一位法國數學家傅立葉主審。傅立葉把論文帶回家中，但不久便於5月16日因黏液性水腫病辭世，論文也不知下落。兩次挫折，使伽羅華十分惱怒。他寫信質問法國科學院，為什麼“小人物”的研究成果被如此輕視？在這種情況下，科學院隻好讓法國數學家泊鬆出麵要求伽羅華再次提交其論文。1831年1月27日，伽羅華第三次提交論文，題目是《關於用根式解方程的可能性條件》。主審泊鬆認為，論文的一部分內容可在阿貝爾的著作中找到，其餘內容則“不可理解”。事實上，泊鬆並沒有完全看懂伽羅華的論文。於是伽羅華的成果被埋沒。
1829年7月，伽羅華決定第二次報考巴黎理工大學。但就在7月2日，身為小鎮長且具有自由主義傾向的父親卻因不堪忍受誣陷、誹謗而自殺，這對伽羅華刺激很大。考場上主考教師對伽羅華介紹自己方程論的研究成果毫無興趣，相反卻故意提出一些人為製造出來的錯綜複雜的問題來刁難他，使伽羅華十分惱怒。他請求主考人注意他的發現，但回答他的卻是大聲狂笑。伽羅華再次被激怒，他忍無可忍，不顧一切將擦黑板的抹布扔向主考官，其結果當然是第二次被理工大學拒之門外。當年10月25日，他轉而考上巴黎高等師範學校預科生。當時該校的生活方式就像修道院一樣。早餐前、課前都要大聲朗讀祈禱文，晚睡前要聽宗教訓話，每月要懺悔一次，如連續兩月不懺悔，就要被開除。這對從小具有自由思想的伽羅華來說實在是一種懲罰，但生活費總算有了著落。
當伽羅華前述關於群論的研究接近完成之時，他的生活開始卷入政治活動之中。1830年7月，法國發生了七月革命，迫使波旁王朝國王查理十世下台，巴黎理工大學學生在鬥爭中起了積極作用。而在伽羅華所在的高等師範學校的同學們卻被校長關閉在校園內。伽羅華憤怒地試圖越牆而出，但未成功。他還在《學校公告》上發表長文揭露校長的兩麵派行為。校長惱羞成怒，於1830年12月宣布，開除進校僅一年的伽羅華的學籍。但伽羅華卻並沒有因此改變自己的主張，仍參加革命宣傳和集會、遊行。1831年5月，資產階級共和派激進分子組成的“民友社”舉行了一次慶祝勝利的宴會，伽羅華一手舉杯，一手持刀為國王路易·菲利浦“幹杯”。第二天他便以“煽動謀害法蘭西國王未遂罪”被捕。隻是由於證據不足，經律師盡力辯護，才免去了牢獄之災，被無罪釋放。同年7月14日，伽羅華在紀念攻占巴士底獄時，非法穿著國王已下令解散了的炮兵衛隊的製服，被認為是向國王的挑釁行為，又一次被捕入獄。獄中曾遭暗槍射擊，幸未被擊中。他在獄中仍堅持數學研究。因監獄流行傳染病，服刑九個多月後的1832年4月29日，他才被釋放出獄。