許多涉及無窮的問題長期爭論不休，最後爭論雙方都達到了荒謬的地步。因此大多數數學家，包括像高斯、柯西這樣的大數學家，隻好對無窮集合采取避而遠之的態度。康托爾心想，大家都采取這種態度，那裏麵一定會有奇珍異寶等待人們發現。康托爾勇敢地向這個神秘莫測的無窮集合深淵發起了挑戰。
康托爾首先調查有關這一領域的曆史狀況。19世紀下半葉，數學分析日益嚴密化，促使人們有必要去理解實數結構。人們從小就知道，1的後麵是2，2的後麵是3……依此類推，那麼最後麵的是什麼？數學家把它稱為“無窮”。從自然數1一直到“無窮”，構成了一個集體或集團，數學家們把它叫做“無窮集合”。
在整數和實數兩個不同的無窮集合之外，是否還有更大的無窮？從1874年初起，康托爾開始考慮麵上的點集和線上的點集有無一一對應。他夜以繼日地苦讀、研究、計算、論證。他書架上排列的書越讀越少，廢棄的演算草紙卻越堆越多。他首先攀上了高斯數論的台階，隨後又越過了劉維爾超越數的壁壘，向無窮集合的中心地帶靠近，靠近……康托爾向無窮集合繼續衝擊，得出了許多有趣、驚人的結論。麵對這些可喜的研究成果，起初他都不敢相信自己的眼睛，他說，“我見到了，但我不相信。”這似乎抹煞了維數的區別。自己得出的結論，竟是“荒謬”的嗎？
按照康托爾研究的理論，下述觀點是完全正確的——1厘米長的線段內的點，和太平洋內的點，和地球內部的點竟是“一樣多”！
函數的自變量根本不是自變的！
……康托爾感到困惑了。他麵臨著艱難的抉擇。難道像伽利略那樣說聲“不可理解”，然後再燒毀那些計算的草紙嗎？康托爾可不會做那樣的傻事。他首先全麵地檢查了自己研究過程的各個環節，一項一項地辨析、篩選，把一切可疑之點都加以清除……最後，康托爾感到自己的研究過程和論證方法是無懈可擊的，因而結論是可靠的，盡管它們是那樣的稀奇古怪。他拿起他的鵝毛筆，工整地寫下了這樣幾個大字：《論所有實代數數學的集合的一個性質》，然後在論文封麵上簽上了自己的名字：喬治·康托爾。
這樣，在1874年，年僅29歲的康托爾在《數學雜誌》上發表了關於無窮集合理論的第一篇革命性論文。這篇論文的發表，標誌著集合的誕生。
1877年，康托爾證明了三維形體的點和線上的點可以有一一對應。1878年，康托爾又發表了集合論的第二篇論文，進一步把一一對應的概念作為判別兩個集合相同或不相同的基礎。而且，數學界也善意地接受了它。於是，康托爾變得更加信心十足了。在1870～1884年，康托爾陸續發表了《論無窮線性點集》等一係列論文，總共6篇，創立了以研究集合論的一般性質為對象的數學分支——“集合論”，成為科學集合論的奠基人。
當康托爾在傳統數學領域中開拓新領域時，數學界的人們容忍了他的“奇談怪論”，而一旦他站在數學新領域大聲疾呼時，便立即招來密如疾雨的討伐之箭。善良的康托爾以為，數學界的人會理解他的研究內容，慢慢會適應新結論。可是他錯了，他還要為自己善良的錯誤判斷付出沉痛的代價。
讀者們紛紛譴責刊物發行者把一篇篇胡言亂語的文章發表出來，簡直是天大的笑話，並揚言要追究編輯的責任。後來，數學家們的攻擊和反對，更加聳人聽聞，有人嘲笑集合論是一種“疾病”，叫嚷要把數學“從疾病中恢複過來”。康托爾開始時還能夠輕鬆的一笑，認為事情早晚會過去的。慢慢地，他感受到了真正的壓力，這壓力與日俱增，逐漸使他喘不過氣了。
幾乎當時所有的大數學家都紛紛表明了態度，批評、諷刺、嘲笑、攻擊，這使康托爾精神上受到很大的壓力。
在圍攻康托爾的論戰之中，最激烈、最嚴厲的便是他的老師克羅奈克。他對康托爾的集合論持全麵否定的態度，並以敵視的態度對待康托爾。當康托爾需要在柏林謀得一個教授職位時，他竟然出口傷人地說：“一個連常識都搞不清楚的人，還想來柏林弄個教授職務，真是一個瘋子！”從此，德國數學界就傳出了康托爾是“瘋子”的流言蜚語。